模擬テスト8-3
[1]$a$を定数とするとき、次の連立方程式を解け。
(i)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + ay = 1 \\
ax + y = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(ii)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(a-1)x+3y=a-1 \\
2ax + (a+4)y = 2a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(iii)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2ax + (a+1)y = 2 \\
x + ay = a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
[2]次の行列を求めよ。
(i)
$
A = \displaystyle \frac{1}{\sqrt2} \left(
\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}
\right),
B = \displaystyle \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
1 & \sqrt 3\\
-\sqrt 3 & 1
\end{array}
\right)
$とする時、$A^{50}$と$A^2B^4$
(ii)
$
\left(
\begin{array}{cc}
\displaystyle \sqrt{3} & \displaystyle -1\\
1 & \displaystyle \sqrt 3
\end{array}
\right)^{6}
$
(iii)
$
\left(
\begin{array}{cc}
\displaystyle \cos\theta & \displaystyle -\sin\theta\\
\sin\theta & \displaystyle \cos\theta
\end{array}
\right)^{n}
$
[3]
行列$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
a & 1 \\
2 & 3
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $の表す1次変換によって、点$(-1,b)$は点$(c,2)$に点$(2,3)$は点$(1,d)$に移される。$a,b,c,d$の値を求めよ。
[4]点$P(1,2)$の直線$y=-x$に関して対称な点を$Q$とし、$Q$を原点の周りに$-30^\circ $回転した位置にある点を$R$とする。点$R$の座標を求めよ。
[5]連立方程式$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & a
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
x\\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
-1\\
b
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $が解を持つような、定数$a,b$についての条件を求めよ。
[6]$x,y$の連立方程式$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
2 & 7
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
x\\
y
\end{array}
\right)
=
k
\left(
\begin{array}{cc}
x\\
y
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $について次の問に答えよ。
(i)「無数の解を持つ」とき定数$k$の値を求めよ。
(ii) (i)で求めた$k$の値に対して、連立方程式の解で$x=1$を満たすものを求めよ。
[7]
$f:$原点の周りに反時計回りに$-60^\circ$回転する1次変換
$g:$原点の周りに反時計回りに$90^\circ$回転する1次変換
とする時、合成変換$g\circ f$と $f\circ g$を表す行列を求めよ。
[8]
$
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & -1
\end{array}
\right)
$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が直線$y=x$上に移る時、$m$の値を求めよ。
[9]
(i)直線$y=mx$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
(ii)直線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
[10]
$
A=\left(
\begin{array}{cc}
a & 1\\
b & -b
\end{array}
\right)
$で表される1次変換を$f$とする。合成変換$f\circ f$を表す行列が$A$自身である時$a,b$を求めよ。