模擬テスト8-3

[1]$a$を定数とするとき、次の連立方程式を解け。
(i)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x+ay=1\\ ax+y=1\end{array}\end{array}$$
　
　
　
　
　
(ii)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(a-1)x+3y=a-1\\ 2ax+(a+4)y=2a\end{array}\end{array}$$　
　
　
(iii)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2ax+(a+1)y=2\\ x+ay=a\end{array}\end{array}$$
　
　
　
　
　
　
[2]次の行列を求めよ。
(i)
$A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),B={\displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)}}$とする時、$A^{50}$と$A^2{B}^4$

　
　
　
　
　
　
(ii)
${\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \sqrt{3}}& {\displaystyle -1}\\ 1& {\displaystyle \sqrt{3}}\end{array}\right)}^6$
　
　
　
　
　
(iii)
${\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \cos \theta }& {\displaystyle -\sin \theta }\\ \sin \theta & {\displaystyle \cos \theta }\end{array}\right)}^n$
　
　　
　
　
　
　
[3]
行列$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$の表す1次変換によって、点$(-1,b)$は点$(c,2)$に点$(2,3)$は点$(1,d)$に移される。$a,b,c,d$の値を求めよ。
　
　
　
　
　
　
[4]点$P(1,2)$の直線$y=-x$に関して対称な点を$Q$とし、$Q$を原点の周りに$-{30}^{\circ }$回転した位置にある点を$R$とする。点$R$の座標を求めよ。
　
　
　
　
　
　
　
　
[5]連立方程式$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ b\end{array}\right)\end{array}$が解を持つような、定数$a,b$についての条件を求めよ。
　
　
　
　
　
[6]$x,y$の連立方程式$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$について次の問に答えよ。
(i)「無数の解を持つ」とき定数$k$の値を求めよ。
(ii) (i)で求めた$k$の値に対して、連立方程式の解で$x=1$を満たすものを求めよ。
　
　
　
　
　
[7]
$f:$原点の周りに反時計回りに$-{60}^{\circ }$回転する1次変換
$g:$原点の周りに反時計回りに${90}^{\circ }$回転する1次変換
とする時、合成変換$g\circ f$と $f\circ g$を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
　
[8]
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -1\end{array}\right)$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が直線$y=x$上に移る時、$m$の値を求めよ。
　
　
　
　
　
[9]
(i)直線$y=mx$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
　
(ii)直線${\displaystyle y=\frac{1}{3}x}$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
　
　
[10]
$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ b& -b\end{array}\right)$で表される1次変換を$f$とする。合成変換$f\circ f$を表す行列が$A$自身である時$a,b$を求めよ。