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京都大学入試問題(出題年度不明)

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$$$$

単位円に内接する正$n$角形のある頂点から、他の$n-1$個の頂点への距離の積は$n$となることを示せ。

  1. $n=3$
    $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
  2. $n=4$
    $\sqrt{2} \times 2 \times \sqrt{2} = 4$

$1$の原始$n$乗根を$\omega$とすると,$x^n-1=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^n)$より,
$$(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{n-1})=\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+\cdots+1$$
$x=1$を代入して,
$$(1-\omega)(1-\omega^2)\cdots(1-\omega^{n-1})=n$$

投稿日:20221028

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tfshhiy
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