反転を知らない人のためのトレミーの定理の証明方法

はじめに

トレミーの定理の証明は、反転以外認められないということが広く知られています。
では、反転を知らない人はトレミーの定理を未証明で使うしかないのでしょうか？
もちろんそんなことはありません！

証明

補助線を引く

直線$AO$と$\mathrm{\Gamma }$の交点$P$($\ne A$)をとります。
半直線$AB$,$AC$,$AD$を引き、$P$における$\mathrm{\Gamma }$の接線$s$との交点をそれぞれ$B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$とします。
さらに、$\mathrm{\Gamma }$の直径の長さ($=AP$)を$r$とおきます。
補助線
円$\mathrm{\Gamma }$上の命題であるトレミーの定理を、直線$s$の命題に変換することを目標にします。

長さの変換

$AB,AC,AD$

対称性より、$AD$のみ考えればよいです。
方べきの定理の証明を使います。

線分$AP$は$\mathrm{\Gamma }$の直径なので、$\mathrm{\angle }ADP={90}^{\circ }=\mathrm{\angle }AP{D}^{\prime }$で、$\mathrm{\angle }PAD=\mathrm{\angle }{D}^{\prime }AP$から
$\mathrm{△}ADP\backsim \mathrm{△}AP{D}^{\prime }$が従います。

よって、$AD:AP=AP:A{D}^{\prime },$ $AD\cdot A{D}^{\prime }=r^2$で、変形すると$AD={\displaystyle \frac{r^2}{A{D}^{\prime }}}$です。

$AB,AC$についても同様なので、

です。

$BC,CD,BD$

こちらも、$BC$のみ考えます。
$AB\cdot A{B}^{\prime }=r^2=AC\cdot A{C}^{\prime }$より、$B,C,C^{\prime },B^{\prime }$は共円で、
さらに$\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$です。
よって、$BC:C^{\prime }{B}^{\prime }=AB:A{C}^{\prime }$で、整理すると$BC=C^{\prime }{B}^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{AB}{A{C}^{\prime }}}$が得られます。
$AB$も補題3で変換してしまうと、$BC=C^{\prime }{B}^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{r^2}{A{B}^{\prime }\cdot A{C}^{\prime }}}$です。

$CD,BD$についても同様なので、

です。

主張の変換

$AB\cdot CD+BC\cdot DA=AC\cdot BD$に補題3,補題4を適用すると、

です。(途切れている場合は横にスクロール)
両辺を${\displaystyle \frac{r^4}{A{B}^{\prime }\cdot A{C}^{\prime }\cdot A{D}^{\prime }}}$で割ります。

$ABCD$の凸性より、$B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$はこの順に並んでいるので、$D^{\prime }{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }=D^{\prime }{B}^{\prime }$は成立します。(向きは合ってないですが、有向長ではないので大丈夫です。)
これでトレミーの定理が証明されました！

補足

この証明は、明示的に反転が登場するわけではありませんが、やっていることは反転です。
補助線についても、反転を知らなければ相当天下り的に見えそうですが、結局反転です。
また、これは反転なので、トレミーの定理の証明として適切です。
(反転を知らない方は、Googleで「反転幾何」と検索してみましょう。)