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新・多重ゼータ値入門1(定義と和公式)

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Riemannゼータ値

整数k>1に対し,Riemannゼータ値を
$\begin{array}{rcl} ζ (k) & = & \sum_{i = 1}^{\infty} n^{- k} \\ = & 1^{- k} + 2^{- k} + \dots + n^{- k} + \dots \end{array}$
と定義する

ここで右辺の級数が収束するか議論しなければならない。
より一般に複素数sがRe(s)>1なる時に収束することがいえる。

Riemannゼータ関数の収束性

Re(s)>1なる複素数sに対し,
$\sum_{i = 1}^{\infty} n^{- s}$
は収束する

略([ER]などを参照)

Riemannゼータ値の具体例

$\begin{array}{rcl} ζ (3) & = & \sum_{m} \frac{1}{m^{3}} \\ = & \frac{1}{1^{3}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots \\ ≒ & 1.202 \dots \end{array}$
これはアペリー定数といわれ、無理数であることが分かっている。

整数k≥1に対して,
$ζ (2 k) = (有理数) \times π^{2 k}$
と表せる。

しかし, $ζ (2 k - 1)$ に関してはこのような表示があるか分かっていない。

次にRiemannゼータ値の拡張として多重ゼータ値を定義する

多重ゼータ値(MZV)

1以上の整数nを固定する。
1以上の整数 $k_{1}, k_{2}, \dots k_{n}$ , ただし $k_{1}$ >1に対して,多重ゼータ値
$ζ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = \sum_{m_{1} > m_{2} > \dots > m_{n} > 0} m_{1}^{- k_{1}} m_{2}^{- k_{2}} \dots m_{n}^{- k_{n}}$
と定義する。
また $k = k_{1} + k_{2} + \dots k_{n}$ を重さ, nを深さという。

Riemannゼータ値は多重ゼータ値の深さ1の場合に相当する。

多重ゼータ値の具体例

$\begin{array}{rcl} ζ (2, 1) & = & \sum_{m_{1} > m_{2} > 0} m_{1}^{- 2} m_{2}^{- 1} \\ = & \frac{1}{2^{2} \cdot 1^{1}} \\ + & \frac{1}{3^{2} \cdot 1^{1}} + \frac{1}{3^{2} \cdot 2^{1}} \\ + & \frac{1}{4^{2} \cdot 1^{1}} + \frac{1}{4^{2} \cdot 2^{1}} + \frac{1}{4^{2} \cdot 3^{1}} \\ + & \dots \end{array}$
と計算できる。
また $ζ (2, 1)$ の重さは2,深さも２となる。

多重ゼータ値の収束性

多重ゼータ値 $ζ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$ は収束する

$ζ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) \leq ζ (2, k_{2}, \dots, k_{n}) \leq ζ (2) < \infty$

多重ゼータ値の具体例

$ζ (\underset{k}{\underset{⏟}{2, 2, \dots, 2}}) =: ζ (2^{k}) = \frac{π^{2 k}}{(2 k + 1)!}$
$a^{k}$ はaがk個並んだものを意味する。

$ζ (\underset{n}{\underset{⏟}{2 k, 2 k, \dots, 2 k}}) =: ζ ({2k}^{n}) = (有理数) \times π^{2 k n}$

Eulerにより次の式が与えられた。

和公式(深さ2)

整数k≥1に対して,
$\sum_{i = 2}^{k - 1} ζ (i, k - i) = ζ (k)$

証明の概略は後ほど。

和公式(深さ2)の具体例

k=3のとき,
$ζ (2, 1) = ζ (3)$
k=4のとき,
$ζ (2, 2) + ζ (3, 1) = ζ (4)$
このように重さを固定しその重さの多重ゼータ値を全て足すとリーマンゼータ値になる。綺麗。

さらに次のような驚くべき拡張がある。

和公式

重さk, 深さn(1≤n≤k)を固定すると以下が成り立つ:
$\sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} = k k_{1} \geq 2, k_{2}, \dots, k_{n} \geq 1} ζ (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = ζ (k)$

この定理の証明は続編(いつになるか分からないが)でするが深さ2の場合の和公式について証明の概略を述べる。

和公式(深さ2)の証明の概略

$\begin{array}{rcl} ζ (2, 1) + ζ (3) & = & \sum_{m > n > 0} \frac{1}{m^{2} n^{1}} + \sum_{m > n > 0} \frac{1}{m^{2} n^{1}} \\ = & \sum_{m \geq n} \frac{1}{m^{2} n^{1}} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} (\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n}) \end{array}$
ここで $\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + m})$ となるので
$\begin{array}{rcl} ζ (2, 1) + ζ (3) & = & \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + m}) \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{m n (m + n)} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{m + n}{m n (m + n)^{2}} \\ = & \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{(m + n)^{2} m} + \frac{1}{(m + n)^{2} n}) \\ = & 2 ζ (2, 1) \\ ∴ ζ (2, 1) = ζ (3) \end{array}$