πが無理数であることの証明

　こんにちは。今日は、$\pi$が無理数であることを証明していきたいと思います。

　世の中には積分を用いた証明があるようですが、ここではランベルトが証明した方法を紹介します。

　使うのは、三角関数の級数展開と、連分数展開です。

まず

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$

です。そして、次の級数展開

${\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots }$

${\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots }$

を先の式に代入すれば

${\displaystyle \tan x=\frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots }{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots }}$

${\displaystyle =\frac{x}{\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots }{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots }}}$

ここで$x$$\to$$0$とすると、分母は1に近づくので

${\displaystyle \tan x=\frac{x}{1-\frac{\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{30}+\cdots }{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots }}}$

${\displaystyle =\frac{x}{1-\frac{x^2}{\frac{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots }{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{30}+\cdots }}}}$

となります。ここで$x$$\to$$0$とすると分母は3に近づくのでこの操作を繰り返せば

${\displaystyle \tan x=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\cdots }}}}}$

と連分数展開できます。

次に、証明に必要な定理を紹介します。

証明は残念ながら見つかりませんでした。

では、$\pi$の無理性を証明していきます。${\displaystyle x=\frac{m}{n}}$とすれば、

${\displaystyle \tan x=\frac{\frac{m}{n}}{1-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{3-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{5-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{7-\cdots }}}}}$

${\displaystyle =\frac{m}{n-\frac{m}{3n-\frac{m}{5n-\frac{m}{7n-\cdots }}}}}$

と、整数係数の連分数展開が得られます。すると先程の定理に当てはめれば

${\displaystyle p_1=m,p_j=m^2(j\ge 2)}$

${\displaystyle q_j=(2j-1)n(j\ge 1)}$

となります。${\displaystyle p_j}$は一定なので、ある$j_o$以降で必ず定理1が成り立ちます。従って、${\displaystyle \tan \frac{m}{n}}$は無理数です。

ここから、次の系が得られます。

これは背理法を用いれば定理2との矛盾が生じることで示せます。

そして、この系によって$\arctan 1=\frac{\pi }{4}$は無理数であることが言えました。

今日はここまでです。最後まで読んでくださってありがとうございました。