πが無理数であることの証明

　こんにちは。今日は、$\pi$が無理数であることを証明していきたいと思います。

　世の中には積分を用いた証明があるようですが、ここではランベルトが証明した方法を紹介します。

　使うのは、三角関数の級数展開と、連分数展開です。

まず

$\displaystyle{ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$

です。そして、次の級数展開

$\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}- \cdots}$

$\displaystyle{\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}- \cdots}$

を先の式に代入すれば

$\displaystyle{\tan x=\frac{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}- \cdots}{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}- \cdots}}$

$\displaystyle{=\frac{x}{\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots}{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots}}}$

ここで$x$$\rightarrow $$0$とすると、分母は1に近づくので

$\displaystyle{\tan x=\frac{x}{1-\frac{\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{30}+\cdots}{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots}}}$

$\displaystyle{=\frac{x}{1-\frac{x^2}{\frac{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots}{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{30}+\cdots}}}}$

となります。ここで$x$$\rightarrow $$0$とすると分母は3に近づくのでこの操作を繰り返せば

$\displaystyle{\tan x=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\cdots}}}}}$

と連分数展開できます。

次に、証明に必要な定理を紹介します。

証明は残念ながら見つかりませんでした。

では、$\pi$の無理性を証明していきます。$\displaystyle{x=\frac{m}{n}}$とすれば、

$\displaystyle{\tan x=\frac{\frac{m}{n}}{1-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{3-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{5-\frac{\frac{m^2}{n^2}}{7-\cdots}}}}}$

$\displaystyle{=\frac{m}{n-\frac{m}{3n-\frac{m}{5n-\frac{m}{7n-\cdots}}}}}$

と、整数係数の連分数展開が得られます。すると先程の定理に当てはめれば

$\displaystyle{p_1=m,p_j=m^2\quad(j \geq 2)}$

$\displaystyle{q_j=(2j-1)n\quad(j \geq 1)}$

となります。$\displaystyle{p_j}$は一定なので、ある$j_o$以降で必ず定理1が成り立ちます。従って、$\displaystyle{\tan\frac{m}{n}}$は無理数です。

ここから、次の系が得られます。

これは背理法を用いれば定理2との矛盾が生じることで示せます。

そして、この系によって$\arctan1=\frac{\pi}{4}$は無理数であることが言えました。

今日はここまでです。最後まで読んでくださってありがとうございました。