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高校数学解説
文献あり

フォロワー3000人突破記念問題の解答と解説

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はじめに

この記事では、先日私のTwitterのフォロワー数が 3000 人を突破したことを記念して作った自作問題の解説をします。

問題

これがそのときの問題です。

フォロワー3000人突破記念問題

1. (易) 一般項が次のように表される数列 {An} について、 A2 をもとめてください。ただし Fk はフィボナッチ数列の第 k 項を表し、n は非負整数とします。

      An:=F5n5n

   A0=1,A1=1,A2=?

2. (難) 数列 An がすべて整数となることを示してください。

3. (追加問題)
   An1mod1000  となることを示してください。

超略解と追加問題

その後で、超略解をツイートしました。

1.
   A2=F2525=7502525=3001  

2.
(超略解)
 頑張って計算することで次の漸化式が得られる。

  An+1=54n+1An552n+1An3+An

漸化式の形から明らかに An は整数となることがわかる。

3. 
(略解)
  n=0,1 のとき An=1

  n1 のとき An1mod1000 と仮定すると
  An+1=54n+1An552n+1An3+An1251512513+1mod1000(5k125mod1000(k=3,5,7,9,))1mod1000

数学的帰納法によりすべての非負整数 n について成り立つ。

問2. の解答でいきなり謎の漸化式が出てきてよく分からないと思いますので、これから別解とあわせて解説していきます。

問2.の解答

解法 1 ド・モアブルの定理の類似を使う

ド・モアブルの定理の類似

(Ln+5Fn2)k=Lkn+5Fkn2

 ただし Fn はフィボナッチ数、 Ln はリュカ数とする。

公式1の証明は読者への演習課題とする。

 ド・モアブルの定理の類似で k=5 とすると

 L5n+5F5n2=(Ln+5Fn2)5=Ln5+5Ln45Fn+10Ln35Fn2+10Ln255Fn3+5Ln25Fn4+255Fn525

5 の係数を比較することで

 F5n2=5Ln4Fn+10Ln25Fn3+25Fn525=5Fn((Ln2+5Fn2)220Fn4)25=5Fn((10Fn2+4(1)n)220Fn4)25Ln2=5Fn2+4(1)n=245Fn(5Fn4+5(1)nFn2+1)25

F5n=5Fn(5Fn4+5(1)nFn2+1)

ここまでくれば、カッコ内が正整数であることと、F1=1 とあわせて数学的帰納法により証明できますね。

解法 2 割り算する

F5nFn=φ5nφ5nφnφn=φ4n+φ3nφn+φ2nφ2n+φnφ3n+φ4n=(φnφn)4+5φnφn(φnφn)2+5φ2nφ2n=25Fn4+25(1)nFn2+5

F5n=5Fn(5Fn4+5(1)nFn2+1)

あとは解法 1 と同じ。

解法 3 漸化式を作る

解法 1 又は解法 2 で得られる式

F5n=5Fn(5Fn4+5(1)nFn2+1)

を使って漸化式を作ることで、より直感的な別解を作ることができます。冒頭部の「超略解」に出てきた漸化式はこれになります。

An+1=F55n5n+1=5F5n(5F5n4+5(1)5nF5n2+1)5n+1=55nAn(554nAn4552nAn2+1)5n+1=An(54n+1An452n+1An2+1)

An+1=54n+1An552n+1An3+An

漸化式の形から明らかに An は整数となることがわかります。

解法 4 カタランの公式を使う

 さらなる別解として、カタランの公式を使う方法もあります。

カタランの公式

Fn=12n1k=0n12(n2k+1)5k

Fn=15{(1+52)n(152)n}=12n5{(1+5)n(15)n}=12n52k=0n12(n2k+1)(5)2k+1=12n1k=0n12(n2k+1)5k

 カタランの公式で第 5n 項を求めると

 F5n=125n1k=05n12(5n2k+1)5k

 となります。
 二項係数の部分を見ると、k=0,1 のときは分母に5 を含んでいませんから

 (5n2k+1)0mod5n

 k>1 のときは分母に 5 が出てきますが、5k の方が 5 の素因数の増加が早いので

 (5n2k+1)5k0mod5n

 となり、結局

 F5n0mod5n

 となります。
 したがって、数列 An=F5n5n がすべて整数となることがわかりました。

おまけ:一般化

さて、更に一般化して「自然数 kFk を割り切ることができるようなもの」はどんな数列になるでしょうか。

OEIS:A023172 によれば、つぎのようになります。

1,5,12,24,25,36,48,60,72,96,108,120,125,144,168,180,192,216,240,288,300,324,336,360,384,432,480,504,540,552,576,600,612,625,648,660,672,684,720,768,840,864,900,960,972,1008,1080,1104,1152,1176,1200,1224,1296,1320,

 この数列に出てくる 1 より大きい数は、すべて 5 又は 12 の倍数になっていることを証明できますので、証明に挑戦するのも楽しいと思います。

【お詫びと訂正】
 当初、「すべて 5 のべき乗 又は 12 の倍数になっていることを証明できるみたい」と書いていたのは誤りでした。(F52 などが反例となるため)
 お詫びして訂正いたします。

おわりに

 最後に、An の最初の数項を具体的に書き出してみましょう。

A0=1
A1=1
A2=3001
A3=475400918060101145703001
A4=296421797648662210078001128
A5=174598600118854835078001650
A5=7737022818967466319530013261

とんでもない速さで爆発的に増加しますね!
フォロワー数 3000 人突破記念問題として、とても縁起の良い数列を題材にできたと思います。

ここまでこれたのも一人一人のフォロワーさんのおかげです。
今後ともよろしくお願いします!

参考文献

[1]
中村 滋, フィボナッチ数の小宇宙, 日本評論社, 2002, p.48
投稿日:20221112
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  1. はじめに
  2. 問題
  3. 超略解と追加問題
  4. 問2.の解答
  5. 解法 1 ド・モアブルの定理の類似を使う
  6. 解法 2 割り算する
  7. 解法 3 漸化式を作る
  8. 解法 4 カタランの公式を使う
  9. おまけ:一般化
  10. おわりに
  11. 参考文献