この記事では、先日私のTwitterのフォロワー数が
これがそのときの問題です。
フォロワー3000人突破記念問題!
— apu (@apu_yokai) November 3, 2022
この数列の第2項はな〜んだ?
1の方は手計算でできると思いますが、2の方はちょっと難しいかも? pic.twitter.com/FgdJgrQ8TV
その後で、超略解をツイートしました。
超略解
— apu (@apu_yokai) November 6, 2022
というわけで、「1,1,3001,…」と爆発的に増加する数列でした!
フォロワーさん3000人超!みなさん一人一人のおかげでここまでくる事ができました。今後ともよろしくお願いします!
🎉㊗️🎉 pic.twitter.com/xqDVjrI92c
1.
2.
(超略解)
頑張って計算することで次の漸化式が得られる。
漸化式の形から明らかに
3.
(略解)
数学的帰納法によりすべての非負整数
問2. の解答でいきなり謎の漸化式が出てきてよく分からないと思いますので、これから別解とあわせて解説していきます。
ただし
公式
ド・モアブルの定理の類似で
ここまでくれば、カッコ内が正整数であることと、
あとは解法
解法
を使って漸化式を作ることで、より直感的な別解を作ることができます。冒頭部の「超略解」に出てきた漸化式はこれになります。
漸化式の形から明らかに
さらなる別解として、カタランの公式を使う方法もあります。
カタランの公式で第
となります。
二項係数の部分を見ると、
となり、結局
となります。
したがって、数列
さて、更に一般化して「自然数
OEIS:A023172 によれば、つぎのようになります。
この数列に出てくる
【お詫びと訂正】
当初、「すべて
お詫びして訂正いたします。
最後に、
とんでもない速さで爆発的に増加しますね!
フォロワー数
ここまでこれたのも一人一人のフォロワーさんのおかげです。
今後ともよろしくお願いします!