10

Abel's lemma の可能性??  ζ(2), ζ(3), β(2) などの加速級数の例 30 個以上

309
0

§1.序言

Abels lemma

n=0Bn(AnAn1)=limnAnBn+1A1B0+n=0An(BnBn+1)

を基に,様々な等式を導出する。

§2.定義

Re(1+2abcde)>0に対し

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(a+2n)(b,c,d,e)n(1+ab,1+ac,1+ad,1+ae)n

§3.Case1

An=(a+b+c+d,1+e)n(2+2abcd,1+ae)nBn=(b,c,d,2+2abcd)n(1+ab,1+ac,1+ad,1a+b+c+d)n

とし,Abels lemmaにあてはめれば

 1

Ω(a|b,c,d,e)=(ae)(1+2abcd)1+2abcde+e(1+abc)(1+abd)(1+acd)(1+ab)(1+ac)(1+ad)(1+2abcde)Ω(1+a|b,c,d,1+e)

を得る。この繰り返しにより

Ω(a|b,c,d,e)=n=0m1(ae)(1+2abcd+2n)1+2abcde(1+abc,1+abd,1+acd,e)n(1+ab,1+ac,1+ad,2+2abcde)n+(1+abc,1+abd,1+acd,e)m(1+ab,1+ac,1+ad,1+2abcde)mΩ(m+a|b,c,d,m+e)

を得る。いま,mに対して

(1+abc,1+abd,1+acd,e)m(1+ab,1+ac,1+ad,1+2abcde)mConst.×m12a+2eΩ(m+a|b,c,d,m+e)m+a

ので,Re(ae)>0の場合に第二項は0に収束し

 1

Ω(a|b,c,d,e)=ae1+2abcdeΩ(1+2abcd|1+abc,1+abd,1+acd,e)

を得る。

§4.Case2

An=(1+c,1+e)n(1+ac,1+ae)nBn=(b,d)n(1+ab,1+ad)n

とすれば,

 2

Ω(a|b,c,d,e)=(ac)(ae)ace+ce(1+abd)(1+ab)(1+ad)(a+c+e)Ω(1+a|b,1+c,d,1+e)

を得る。

§5.Case3

An=(1+b,1+c,1+d,1+2abcd)n(1+ab,1+ac,1+ad,1a+b+c+d)nBn=(1a+b+c+d,e)n(2abcd,1+ae)n

とすれば,

 3

Ω(a|b,c,d,e)=(ab)(ac)(ad)(abcd)(abc)(abd)(acd)+bcd(2abcde)(abc)(abd)(acd)(1+ae)Ω(1+a|1+b,1+c,1+d,e)

を得る。

§6.定理2

対称性より

Ω(1+a|b,c,d,1+e)=Ω(1+a|b,c,1+e,d)

左辺に補題1,右辺に補題2を用いれば

Ω(1+a|b,c,d,1+e)=(1+ab)(1+ac)(1+ad)(ae)(1+2abcd)e(1+abc)(1+abd)(1+acd)+(1+ab)(1+ac)(1+ad)(1+2abcde)e(1+abc)(1+abd)(1+acd)Ω(a|b,c,d,e)Ω(1+a|b,c,1+e,d)=(1+ac)(1+ad)1+acdcd(1+abe)(2+ab)(1+ae)(1+acd)Ω(2+a|b,1+c,1+d,1+e)

より

 4

Ω(a|b,c,d,e)=(1+2abcd,ae)1(1+2abcde)1+(e,1+abc,1+abd)1(1+ab,1+2abcde)1(c,d,e,1+abc,1+abd,1+abe)1(1+ac,1+ad,1+ae,1+2abcde)1Ω(2+a|b,1+c,1+d,1+e)(1+ab)2

 2

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1)n(c,d,e,1+abc,1+abd,1+abe)n(1+ac,1+ad,1+ae,1+2abcde)n(1+ab)2nPn
(Pn=(1+2abcd+2n)(ae+n)1+2abcde+n+(1+abc+n)(1+abd+n)(e+n)(1+ab+2n)(1+2abcde+n))

§7.定理3

対称性より

Ω(1+a|b,c,d,1+e)=Ω(1+a,b,1+e,d,c)

左辺と右辺に補題1を用いれば

Ω(1+a|b,c,d,1+e)=(1+ab)(1+ac)(1+ad)(ae)(1+2abcd)e(1+abc)(1+abd)(1+acd)+(1+ab)(1+ac)(1+ad)(1+2abcde)e(1+abc)(1+abd)(1+acd)Ω(a|b,c,d,e)Ω(1+a|b,1+e,d,c)=(1+ac)(2+2abde)2+2abcde+c(2+abd)(1+abe)(1+ade)(2+ab)(2+ad)(1+ae)(2+2abcde)Ω(2+a|b,1+c,d,1+e)

より

 5

Ω(a|b,c,d,e)=(1+2abcd)(ae)1+2abcde+e(1+abc)(1+abd)(1+acd)(2+2abde)(1+ab)(1+ad)(1+2abcde)2+ce(1+abc)(1+abe)(1+acd)(1+ade)(1+abd)2(1+ac)(1+ae)(1+ab,1+ad,1+2abcde)2Ω(2+a|b,1+c,d,1+e)

 3

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(c,e,1+abc,1+abe,1+acd,1+ade)n(1+abd)2n(1+ac,1+ae)n(1+ab,1+ad,1+2abcde)2nPn
(Pn=(1+2abcd+3n)(ae+n)1+2abcde+2n+(e+n)(1+abc+n)(1+abd+2n)(1+acd+n)(2+2abde+3n)(1+ab+2n)(1+ad+2n)(1+2abcde+2n)2)

§8.アルゴリズム

上述のように,対称性と補題1,2などを用いてΩ(a|b,c,d,e)=A(a,b,c,d,e)+B(a,b,c,d,e)Ω(p+a|q+b,r+c,s+d,t+e)のかたちを作ることができ,

Ω(a|b,c,d,e)=n=0m1A(pn+a,qn+b,rn+c,sn+d,tn+e)k=0n1B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)+Ω(pm+a|qm+b,rm+c,sm+d,tm+e)k=0m1B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)

および

Ω(a|b,c,d,e)=n=0A(pn+a,qn+b,rn+c,sn+d,tn+e)k=0n1B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)+limmΩ(pm+a|qm+b,rm+c,sm+d,tm+e)k=0m1B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)

を得る。

§9.定理のまとめ

 9.0

Ω(a|b,c,d,e)=ae1+2abcdeΩ(1+2abcd|1+abc,1+abd,1+acd,e)

 9.1

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1)n(c,d,e,1+abc,1+abd,1+abe)n(1+ac,1+ad,1+ae,1+2abcde)n(1+ab)2nRn(1)
(Rn(1)=(1+2abcd+2n)(ae+n)1+2abcde+n+(1+abc+n)(1+abd+n)(e+n)(1+ab+2n)(1+2abcde+n))

 9.2

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(c,e,1+abc,1+abe,1+acd,1+ade)n(1+abd)2n(1+ac,1+ae)n(1+ab,1+ad,1+2abcde)2nRn(2)
(Rn(2)=(1+2abcd+3n)(ae+n)1+2abcde+2n+(e+n)(1+abc+n)(1+abd+2n)(1+acd+n)(2+2abde+3n)(1+ab+2n)(1+ad+2n)(1+2abcde+2n)2)

 9.3

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1)n(c,d,1+abe,1+acd)n(e,1+abc,1+abd)2n(1+ae)n(1+ac,1+ad,1+2abcde)2n(1+ab)3nRn(3)
(Rn(3)=(1+2abcd+4n)(ae+n)1+2abcde+2n+(e+2n)(1+abc+2n)(1+abd+2n)(1+acd+n)(2+2abde+3n)(1+ab+3n)(1+ad+2n)(1+2abcde+2n)2+(c+n)(e+2n)(1+abc+2n)(1+abe+n)(1+acd+n)(1+abd+2n)2(1+ac+2n)(1+ad+2n)(1+ab+3n,1+2abcde+2n)2)

 9.4

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1+abc,1+abe,1+acd,1+ade)n(c,e)2n(1+abd)3n(1+ac,1+ae,c+ea)n(1+2abcde)2nRn(4)
(Rn(4)=(1+2abcd+4n)(ae+n)1+2abcde+2n+(e+2n)(1+abc+n)(1+abd+3n)(1+acd+n)(2+2abde+4n)(1+ab+3n)(1+ad+3n)(1+2abcde+2n)2(c+2n)(e+2n)(1+abc+n)(1+abe+n)(1+acd+n)(1+ade+n)(1+abd+3n)2(c+ea+n)(1+ab+3n,1+ad+3n,1+2abcde+2n)2)

 9.5

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1)n(c,1+abd,1+abe)n(d,e,1+abc)2n(d+ea,1+ad,1+ae,1+2abcde)n(1+ac)2n(1+ab)3nRn(5)
(Rn(5)=(1+2abcd+3n)(ae+n)1+2abcde+n+(e+2n)(1+abc+2n)(1+abd+n)(1+ab+3n)(1+2abcde+n)+(c+n)(d+2n)(e+2n)(1+abc+2n)(1+abd+n)(1+abe+n)(a+d+e+n)(1+ac+2n)(1+2abcde+n)(1+ab+3n)2)

 9.6

Ω(a|b,c,d,e)=Γ(1+ab)Γ(1+ac)Γ(1+ad)Γ(1+ae)Γ(a+b+e)Γ(a+c+e)Γ(a+d+e)Γ(1+2abcde)Γ(b)Γ(c)Γ(d)Γ(e)Γ(1+abc)Γ(1+abd)Γ(1+acd)+n=0(b,c,d,1+abc,1+abd,1+acd)n(e)3n(a+b+e,a+c+e,a+d+e)n(1+ab,1+ac,1+ad)2nRn(6)
(Rn(6)=(ac+2n)(ae)acen(c+n)(e+3n)(ae)(1+abd+n)(1+ad+2n)(aben)(acen)+(b+n)(c+n)(e+3n)(1+e+3n)(ae)(1+abd+n)(1+acd+n)(1+ab+2n)(1+ac+2n)(1+ad+2n)(aben)(acen)(aden))

 9.7

Ω(a|b,c,d,e)=n=0(1)n(b,c,d,e,1+abc,1+abd,1+abe,1+acd,1+ace,1+ade)n(1+ab,1+ac,1+ad,1+ae,1+2abcde)2nRn(7)
(Rn(7)=(1+2abcd+3n)(ae+2n)1+2abcde+2n+(e+n)(1+abc+n)(1+abd+n)(1+acd+n)(2+2abde+3n)(1+ab+2n)(1+ad+2n)(1+2abcde+2n)2+(c+n)(e+n)(1+abc+n)(1+abd+n)(1+abe+n)(1+acd+n)(1+ade+n)(1+ab+2n)(1+ac+2n)(1+ad+2n)(1+ae+2n)(1+2abcde+2n)2)

§10.系のまとめ

 10.0

Ω(32|1,1,1,12)=2Ω(1|12,12,12,12)=74ζ(3)
Ω(32|1,1,1,)=Ω(1|12,12,12,)=β(2)

 10.1

(a,b,c,d,e)=(1,12,12,12,12)

212ζ(3)=n=0(1)n22nn!2(54,74)n20n2+32n+13(n+1)(2n+1)2

(a,b,c,d,e)=(32,12,1,1,1)

72ζ(3)=n=0(1)n22nn!5(32)n5(10n2+14n+5)

(a,b,c,d,e)=(1,1,12,12,12)

35ζ(2)=n=0(1)n22n(12)n3n!(32)n2

(a,b,c,d,e)=(2,2,12,12,12)

24316ζ(2)=n=0(1)n22n(12)n5n!(52)n4(20n2+44n+25)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,12)

43ζ(2)=n=0(1)n22n(12)n5n!5(20n2+8n+1)

(a,b,c,d,e)=(32,32,12,12,12)

643ζ(2)=n=0(1)n22n(12)n5n!520n2+32n+13(n+1)4

(a,b,c,d,e)=(1,34,1,14,12)

5π8=n=0(1)n22nn!(14)n2(32,98,138)n(5n+2)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,)

4π=n=0122n(12)n3n!3(6n+1)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,14,34)

8π=n=0(1)n22n(12,14,34)nn!3(20n+3)

 10.2

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,1)

16ζ(3)=n=0124nn!2(32)n230n+19(n+1)(2n+1)

(a,b,c,d,e)=(32,1,1,1,12)

74ζ(3)=n=0122nn!2(32)n23n+2(n+1)(2n+1)

(a,b,c,d,e)=(1,12,12,12,12)

632ζ(3)=n=0124nn!4(54,74)n260n2+94n+372n+1

(a,b,c,d,e)=(1,12,1,12,12)

32ζ(2)=n=0122nn!3(32)n3(3n+2)

(a,b,c,d,e)=(32,12,1,12,1)

16ζ(2)=n=0124nn!3(34,54)n(32)n5(60n2+77n+25)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,12)

163ζ(2)=n=0124n(12)n3(14,34)nn!5(120n2+34n+3)

(a,b,c,d,e)=(1,12,12,12,)

18β(2)=n=0(1)n22nn!3(12)n(54,74)n2(40n2+56n+19)

 10.3

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,1)

24ζ(3)=n=0(1)n33nn!2(43,53)n56n2+80n+29(n+1)(2n+1)2

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,12)

1283ζ(2)=n=0(1)n33n(12)n(14,34)n3n!5(43,53)n(7168n4+8832n3+3376n2+492n+27)

 10.4

(a,b,c,d,e)=(32,12,1,12,1)

24ζ(2)=n=022n33nn!3(56,76)n(32)n(43,53)n2(69n2+98n+35)

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,)

18ζ(2)=n=0(1)n22n33nn!(12)n(43,53)n279n3+504n2+302n+61(n+1)(3n+1)(3n+2)

 10.5

(a,b,c,d,e)=(32,1,12,1,1)

1052ζ(3)=n=0(1)n24n33nn!2(76,116)n86n2+151n+67(n+1)(2n+1)2

(a,b,c,d,e)=(32,12,1,1,1)

63ζ(3)=n=0(1)n24n33nn!5(32,43,53,54,74)n(172n2+269n+106)

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,32)

24ζ(2)=n=0(1)n24n33nn!(34,54)n(32,43,53)n86n2+124n+45(n+1)(2n+1)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,12)

323ζ(2)=n=0(1)n24n33n(12)n(14,34)n3n!5(43,53)n(1376n4+1808n3+784n2+138n+9)

(a,b,c,d,e)=(32,1,,1,1)

30β(2)=n=024n33nn!2(76,116)n22n+212n+1

 10.6

(a,b,c,d,e)=(32,12,1,1,1)

272ζ(2)=n=033n26nn!3(13,23)n(32)n(54,74)n2(74n3+138n2+83n+16)

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,32)

32ζ(2)=n=033n26nn!3(56,76)n(32)n5(74n2+101n+35)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,0)

8ζ(2)=n=033n26n(12)n3(13,23)nn!5(74n2+27n+3)

(a,b,c,d,e)=(1,12,12,12,)

2β(2)=n=0(1)n23nn!3(32)n3(3n+2)

 10.7

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,1)

64ζ(3)=n=0(1)n210nn!5(32)n5(205n2+250n+77)

(a,b,c,d,e)=(1,12,12,12,12)

5672ζ(3)=n=0(1)n210nn!5(12)n3(54,74)n4(3280n5+10888n4+14236n3+9122n2+2844n+341)

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,32)

144ζ(2)=n=0(1)n210nn!3(12)n(54,74)n2(410n2+623n+237)

(a,b,c,d,e)=(2,1,1,1,)

8ζ(2)=n=0126nn!3(32)n3(21n+13)

(a,b,c,d,e)=(12,12,12,12,12)

643ζ(2)=n=0(1)n210n(12)n5n!5(820n2+180n+13)
投稿日:20221123
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  1. $\S 1.$序言
  2. $\S 2.$定義
  3. $\S 3.$$\rm Case$$1$
  4. $\S 4.$$\rm Case$$2$
  5. $\S 5.$$\rm Case$$3$
  6. $\S 6.$定理$2$
  7. $\S 7.$定理$3$
  8. $\S 8.$アルゴリズム
  9. $\S 9.$定理のまとめ
  10. $\S 10.$系のまとめ