$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
$\S 1.$序言
$\quad$$\bf Abel's~lemma$
$\BA\D\\
\sum_{n=0}^\infty B_n(A_n-A_{n-1})
=\lim_{n\to\infty} A_nB_{n+1}-A_{-1}B_0+\sum_{n=0}^\infty A_n(B_n-B_{n+1})
\EA$
を基に，様々な等式を導出する。
$\S 2.$定義
$\quad$$\Re(1+2a-b-c-d-e)>0$に対し
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a+2n)(b,c,d,e)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n}
\EA$
$\S 3.$$\rm Case$$1$
$\BA\D\\
A_n&=\frac{(-a+b+c+d,1+e)_n}{(2+2a-b-c-d,1+a-e)_n}\\
B_n&=\frac{(b,c,d,2+2a-b-c-d)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,-1-a+b+c+d)_n}
\EA$
とし，$\rm Abel's~lemma$にあてはめれば
$\qquad\large\bf\underline{補題~1}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\frac{(a-e)(1+2a-b-c-d)}{1+2a-b-c-d-e}+\frac{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+2a-b-c-d-e)}\Omega(1+a|b,c,d,1+e)
\EA$
を得る。この繰り返しにより
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)
&=\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(a-e)(1+2a-b-c-d+2n)}{1+2a-b-c-d-e}\frac{(1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d,e)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,2+2a-b-c-d-e)_n}\\
&\quad+\frac{(1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d,e)_m}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_m}\Omega(m+a|b,c,d,m+e)
\EA$
を得る。いま，$m\to\infty$に対して
$\BA\D\\
\frac{(1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d,e)_m}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_m}
&\approx {\bf Const.}×m^{-1-2a+2e}\\
\Omega(m+a|b,c,d,m+e)&\approx m+a
\EA$
ので，$\Re (a-e)>0$の場合に第二項は$0$に収束し
$\qquad\large\bf\underline{定理~1}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\frac{a-e}{1+2a-b-c-d-e}\Omega(1+2a-b-c-d|1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d,e)
\EA$
を得る。
$\S 4.$$\rm Case$$2$
$\BA\D\\
A_n&=\frac{(1+c,1+e)_n}{(1+a-c,1+a-e)_n}\\
B_n&=\frac{(b,d)_n}{(1+a-b,1+a-d)_n}
\EA$
とすれば，
$\qquad\large\bf\underline{補題~2}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\frac{(a-c)(a-e)}{a-c-e}+\frac{ce(1+a-b-d)}{(1+a-b)(1+a-d)(-a+c+e)}\Omega(1+a|b,1+c,d,1+e)
\EA$
を得る。
$\S 5.$$\rm Case$$3$
$\BA\D\\
A_n&=\frac{(1+b,1+c,1+d,1+2a-b-c-d)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1-a+b+c+d)_n}\\
B_n&=\frac{(1-a+b+c+d,e)_n}{(2a-b-c-d,1+a-e)_n}
\EA$
とすれば，
$\qquad\large\bf\underline{補題~3}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\frac{(a-b)(a-c)(a-d)(a-b-c-d)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-c-d)}+\frac{bcd(2a-b-c-d-e)}{(a-b-c)(a-b-d)(a-c-d)(1+a-e)}\Omega(1+a|1+b,1+c,1+d,e)
\EA$
を得る。
$\S 6.$定理$2$
$\quad$対称性より
$\BA\D\\
\Omega(1+a|b,c,d,1+e)=\Omega(1+a|b,c,1+e,d)
\EA$
$\quad$左辺に補題$1$，右辺に補題$2$を用いれば
$\BA\D\\
\Omega(1+a|b,c,d,1+e)&=-\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(a-e)(1+2a-b-c-d)}{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}+\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+2a-b-c-d-e)}{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
\Omega(1+a|b,c,1+e,d)&=\frac{(1+a-c)(1+a-d)}{1+a-c-d}-\frac{cd(1+a-b-e)}{(2+a-b)(1+a-e)(1+a-c-d)}\Omega(2+a|b,1+c,1+d,1+e)
\EA$
より
$\qquad\large\bf\underline{補題~4}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)
&=\frac{(1+2a-b-c-d,a-e)_1}{(1+2a-b-c-d-e)_1}+\frac{(e,1+a-b-c,1+a-b-d)_1}{(1+a-b,1+2a-b-c-d-e)_1}\\
&\quad-\frac{(c,d,e,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e)_1}{(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_1}\frac{\Omega(2+a|b,1+c,1+d,1+e)}{(1+a-b)_2}
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~2}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(c,d,e,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e)_n}{(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_n(1+a-b)_{2n}}P_n
\EA$
$\BA\D
\small \L(P_n=\frac{(1+2a-b-c-d+2n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+n}+\frac{(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(e+n)}{(1+a-b+2n)(1+2a-b-c-d-e+n)}\R)
\EA$
$\S 7.$定理$3$
$\quad$対称性より
$\BA\D\\
\Omega(1+a|b,c,d,1+e)=\Omega(1+a,b,1+e,d,c)
\EA$
$\quad$左辺と右辺に補題$1$を用いれば
$\BA\D\\
\Omega(1+a|b,c,d,1+e)&=-\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(a-e)(1+2a-b-c-d)}{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}+\frac{(1+a-b)(1+a-c)(1+a-d)(1+2a-b-c-d-e)}{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)}\Omega(a|b,c,d,e)\\
\Omega(1+a|b,1+e,d,c)&=\frac{(1+a-c)(2+2a-b-d-e)}{2+2a-b-c-d-e}+\frac{c(2+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-d-e)}{(2+a-b)(2+a-d)(1+a-e)(2+2a-b-c-d-e)}\Omega(2+a|b,1+c,d,1+e)
\EA$
より
$\qquad\large\bf\underline{補題~5}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)&=\frac{(1+2a-b-c-d)(a-e)}{1+2a-b-c-d-e}+\frac{e(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-c-d)(2+2a-b-d-e)}{(1+a-b)(1+a-d)(1+2a-b-c-d-e)_2}\\
&\quad+\frac{ce(1+a-b-c)(1+a-b-e)(1+a-c-d)(1+a-d-e)(1+a-b-d)_2}{(1+a-c)(1+a-e)(1+a-b,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_2}\Omega(2+a|b,1+c,d,1+e)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~3}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(c,e,1+a-b-c,1+a-b-e,1+a-c-d,1+a-d-e)_n(1+a-b-d)_{2n}}{(1+a-c,1+a-e)_n(1+a-b,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_{2n}}P_n
\EA$
$\BA\D
\small \L(P_n=\frac{(1+2a-b-c-d+3n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+2n}+\frac{(e+n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+2n)(1+a-c-d+n)(2+2a-b-d-e+3n)}{(1+a-b+2n)(1+a-d+2n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}\R)
\EA$
$\S 8.$アルゴリズム
$\quad$上述のように，対称性と補題$1$,$2$などを用いて$\Omega(a|b,c,d,e)=A(a,b,c,d,e)+B(a,b,c,d,e)\Omega(p+a|q+b,r+c,s+d,t+e)$のかたちを作ることができ，
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)
&=\sum_{n=0}^{m-1}A(pn+a,qn+b,rn+c,sn+d,tn+e)\prod_{k=0}^{n-1}B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)\\
&\quad+\Omega(pm+a|qm+b,rm+c,sm+d,tm+e)\prod_{k=0}^{m-1}B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)
\EA$
および
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)
&=\sum_{n=0}^{\infty}A(pn+a,qn+b,rn+c,sn+d,tn+e)\prod_{k=0}^{n-1}B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)\\
&\quad+\lim_{m\to\infty}\Omega(pm+a|qm+b,rm+c,sm+d,tm+e)\prod_{k=0}^{m-1}B(pk+a,qk+b,rk+c,sk+d,tk+e)
\EA$
を得る。
$\S 9.$定理のまとめ
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.0}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\frac{a-e}{1+2a-b-c-d-e}\Omega(1+2a-b-c-d|1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d,e)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.1}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(c,d,e,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e)_n}{(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_n(1+a-b)_{2n}}R_n^{(1)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(1)}=\frac{(1+2a-b-c-d+2n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+n}+\frac{(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(e+n)}{(1+a-b+2n)(1+2a-b-c-d-e+n)}\R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.2}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(c,e,1+a-b-c,1+a-b-e,1+a-c-d,1+a-d-e)_n(1+a-b-d)_{2n}}{(1+a-c,1+a-e)_n(1+a-b,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_{2n}}R_n^{(2)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(2)}=\frac{(1+2a-b-c-d+3n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+2n}+\frac{(e+n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+2n)(1+a-c-d+n)(2+2a-b-d-e+3n)}{(1+a-b+2n)(1+a-d+2n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}\R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.3}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(c,d,1+a-b-e,1+a-c-d)_n(e,1+a-b-c,1+a-b-d)_{2n}}{(1+a-e)_n(1+a-c,1+a-d,1+2a-b-c-d-e)_{2n}(1+a-b)_{3n}}R_n^{(3)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(3)}=\frac{(1+2a-b-c-d+4n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+2n}+\frac{(e+2n)(1+a-b-c+2n)(1+a-b-d+2n)(1+a-c-d+n)(2+2a-b-d-e+3n)}{(1+a-b+3n)(1+a-d+2n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}+\frac{(c+n)(e+2n)(1+a-b-c+2n)(1+a-b-e+n)(1+a-c-d+n)(1+a-b-d+2n)_2}{(1+a-c+2n)(1+a-d+2n)(1+a-b+3n,1+2a-b-c-d-e+2n)_2}\R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.4}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(1+a-b-c,1+a-b-e,1+a-c-d,1+a-d-e)_n(c,e)_{2n}(1+a-b-d)_{3n}}{(1+a-c,1+a-e,c+e-a)_n(1+2a-b-c-d-e)_{2n}}R_n^{(4)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(4)}=\frac{(1+2a-b-c-d+4n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+2n}+\frac{(e+2n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+3n)(1+a-c-d+n)(2+2a-b-d-e+4n)}{(1+a-b+3n)(1+a-d+3n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}-\frac{(c+2n)(e+2n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-e+n)(1+a-c-d+n)(1+a-d-e+n)(1+a-b-d+3n)_2}{(c+e-a+n)(1+a-b+3n,1+a-d+3n,1+2a-b-c-d-e+2n)_2}\R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.5}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(c,1+a-b-d,1+a-b-e)_n(d,e,1+a-b-c)_{2n}}{(d+e-a,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_n(1+a-c)_{2n}(1+a-b)_{3n}}R_n^{(5)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(5)}=\frac{(1+2a-b-c-d+3n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+n}+\frac{(e+2n)(1+a-b-c+2n)(1+a-b-d+n)}{(1+a-b+3n)(1+2a-b-c-d-e+n)}+\frac{(c+n)(d+2n)(e+2n)(1+a-b-c+2n)(1+a-b-d+n)(1+a-b-e+n)}{(-a+d+e+n)(1+a-c+2n)(1+2a-b-c-d-e+n)(1+a-b+3n)_2} \R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.6}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)
&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(-a+b+e)\Gamma(-a+c+e)\Gamma(-a+d+e)\Gamma(1+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}\\
&\quad +\sum_{n=0}^\infty \frac{(b,c,d,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_n(e)_{3n}}{(-a+b+e,-a+c+e,-a+d+e)_n(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_{2n}}R_n^{(6)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(6)}=\frac{(a-c+2n)(a-e)}{a-c-e-n}-\frac{(c+n)(e+3n)(a-e)(1+a-b-d+n)}{(1+a-d+2n)(a-b-e-n)(a-c-e-n)}+\frac{(b+n)(c+n)(e+3n)(1+e+3n)(a-e)(1+a-b-d+n)(1+a-c-d+n)}{(1+a-b+2n)(1+a-c+2n)(1+a-d+2n)(a-b-e-n)(a-c-e-n)(a-d-e-n)}\R)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{定理~9.7}$
$\BA\D\\
\Omega(a|b,c,d,e)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(b,c,d,e,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-c-d,1+a-c-e,1+a-d-e)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_{2n}}R_n^{(7)}
\EA$
$\BA\D
\small \L(R_n^{(7)}=\frac{(1+2a-b-c-d+3n)(a-e+2n)}{1+2a-b-c-d-e+2n}+\frac{(e+n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(1+a-c-d+n)(2+2a-b-d-e+3n)}{(1+a-b+2n)(1+a-d+2n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}+\frac{(c+n)(e+n)(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(1+a-b-e+n)(1+a-c-d+n)(1+a-d-e+n)}{(1+a-b+2n)(1+a-c+2n)(1+a-d+2n)(1+a-e+2n)(1+2a-b-c-d-e+2n)_2}\R)
\EA$
$\S 10.$系のまとめ
$\qquad\large\bf\underline{系~10.0}$
$\BA\D\\
\Omega\L(\frac{3}{2}\L|1,1,1,\frac{1}{2}\R.\R)=2\Omega\L(1\L|\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R.\R)=\frac{7}{4}\zeta(3)
\EA$
$\BA\D\\
\Omega\L(\L.\frac{3}{2}\R|1,1,1,-\infty\R)=\Omega\L(1\L|\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\infty\R.\R)=\beta(2)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.1}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{21}{2}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{n!^2}{(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n}\frac{20n^2+32n+13}{(n+1)(2n+1)^2}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1,1,1\R)$
$\BA\D
\frac{7}{2}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{n!^5}{(\frac{3}{2})_n^5}(10n^2+14n+5)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{3}{5}\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^3}{n!(\frac{3}{2})_n^2}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,2,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{243}{16}\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^5}{n!(\frac{5}{2})_n^4}(20n^2+44n+25)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{4}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^5}{n!^5}(20n^2+8n+1)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{64}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^5}{n!^5}\frac{20n^2+32n+13}{(n+1)^4}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{3}{4},1,\frac{1}{4},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{5\pi}{8}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{n!(\frac{1}{4})_n^2}{(\frac{3}{2},\frac{9}{8},\frac{13}{8})_n}(5n+2)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\infty\R)$
$\BA\D
\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^3}{n!^3}(6n+1)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\R)$
$\BA\D
\frac{8}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4})_n}{n!^3}(20n+3)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.2}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,1\R)$
$\BA\D
16\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}\frac{n!^2}{(\frac{3}{2})_n^2}\frac{30n+19}{(n+1)(2n+1)}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},1,1,1,\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{7}{4}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}}\frac{n!^2}{(\frac{3}{2})_n^2}\frac{3n+2}{(n+1)(2n+1)}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{63}{2}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}\frac{n!^4}{(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n^2}\frac{60n^2+94n+37}{2n+1}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{3}{2}\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}}\frac{n!^3}{(\frac{3}{2})_n^3}(3n+2)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1\R)$
$\BA\D
16\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}\frac{n!^3(\frac{3}{4},\frac{5}{4})_n}{(\frac{3}{2})_n^5}(60n^2+77n+25)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{16}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^3(\frac{1}{4},\frac{3}{4})_n}{n!^5}(120n^2+34n+3)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\infty\R)$
$\BA\D
18\beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\frac{n!^3(\frac{1}{2})_n}{(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n^2}(40n^2+56n+19)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.3}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,1\R)$
$\BA\D
24\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{3n}}\frac{n!^2}{(\frac{4}{3},\frac{5}{3})_n}\frac{56n^2+80n+29}{(n+1)(2n+1)^2}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{128}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{3n}}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{4},\frac{3}{4})_n^3}{n!^5\L(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\R)_n}(7168n^4+8832n^3+3376n^2+492n+27)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.4}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1\R)$
$\BA\D
24\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}}{3^{3n}}\frac{n!^3(\frac{5}{6},\frac{7}{6})_n}{(\frac{3}{2})_n\L(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\R)_n^2}(69n^2+98n+35)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,-\infty\R)$
$\BA\D
18\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}}{3^{3n}}\frac{n!(\frac{1}{2})_n}{\L(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\R)_n}\frac{279n^3+504n^2+302n+61}{(n+1)(3n+1)(3n+2)}
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.5}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},1,\frac{1}{2},1,1\R)$
$\BA\D
\frac{105}{2}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{4n}}{3^{3n}}\frac{n!^2}{(\frac{7}{6},\frac{11}{6})_n}\frac{86n^2+151n+67}{(n+1)(2n+1)^2}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1,1,1\R)$
$\BA\D
63\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{4n}}{3^{3n}}\frac{n!^5}{(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n}(172n^2+269n+106)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,\frac{3}{2}\R)$
$\BA\D
24\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{4n}}{3^{3n}}\frac{n!(\frac{3}{4},\frac{5}{4})_n}{(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{3})_n}\frac{86n^2+124n+45}{(n+1)(2n+1)}
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{32}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{4n}}{3^{3n}}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{4},\frac{3}{4})_n^3}{n!^5(\frac{4}{3},\frac{5}{3})_n}(1376n^4+1808n^3+784n^2+138n+9)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},1,-\infty,1,1\R)$
$\BA\D
30\beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{4n}}{3^{3n}}\frac{n!^2}{(\frac{7}{6},\frac{11}{6})_n}\frac{22n+21}{2n+1}
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.6}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{3}{2},\frac{1}{2},1,1,1\R)$
$\BA\D
\frac{27}{2}\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{3^{3n}}{2^{6n}}\frac{n!^3(\frac{1}{3},\frac{2}{3})_n}{(\frac{3}{2})_n(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n^2}(74n^3+138n^2+83n+16)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,\frac{3}{2}\R)$
$\BA\D
32\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{3^{3n}}{2^{6n}}\frac{n!^3(\frac{5}{6},\frac{7}{6})_n}{(\frac{3}{2})_n^5}(74n^2+101n+35)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\R)$
$\BA\D
\frac{8}{\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{3^{3n}}{2^{6n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^3(\frac{1}{3},\frac{2}{3})_n}{n!^5}(74n^2+27n+3)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\infty\R)$
$\BA\D
2\beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{3n}}\frac{n!^3}{(\frac{3}{2})_n^3}(3n+2)
\EA$
$\qquad\large\bf\underline{系~10.7}$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,1\R)$
$\BA\D
64\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}}\frac{n!^5}{(\frac{3}{2})_n^5}(205n^2+250n+77)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{567}{2}\zeta(3)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}}\frac{n!^5(\frac{1}{2})_n^3}{(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n^4}(3280n^5+10888n^4+14236n^3+9122n^2+2844n+341)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,\frac{3}{2}\R)$
$\BA\D
144\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}}\frac{n!^3(\frac{1}{2})_n}{(\frac{5}{4},\frac{7}{4})_n^2}(410n^2+623n+237)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(2,1,1,1,-\infty\R)$
$\BA\D
8\zeta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{6n}}\frac{n!^3}{(\frac{3}{2})_n^3}(21n+13)
\EA$
$\qquad\bullet\quad (a,b,c,d,e)=\L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\R)$
$\BA\D
\frac{64}{3\zeta(2)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}}\frac{(\frac{1}{2})_n^5}{n!^5}(820n^2+180n+13)
\EA$
