二項係数付きMZVメモ

$\mathbf{Definition}\mathbf{.}$
空でないインデックス$\mathit{k}=(k_1,\dots ,k_r)$と整数$i,j(1\le i\le r)$に対し、
$$\begin{array}{rl} w_i(\mathit{k})& :=\sum _{n=i}^r{k}_n\\ W_{\mathit{k}}& :=\{w_i(\mathit{k})|1\le i\le r\}\\ {\delta }_{\mathit{k};j}& :=\sum _{n=1}^r{\delta }_{w_n(\mathit{k}),j}=\{\begin{array}{}1& (j\in W_{\mathit{k}})\\ 0& (j\notin W_{\mathit{k}})\end{array}\end{array}$$
以下の級数が収束する$x$に対し、
$$H(\mathit{k};x):=\sum _{0<n_1\le \cdots \le n_r}\frac{(x{)}_{n_r}}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{n}_r!}$$
$\mathbf{Main}\mathbf{Theorem}\mathbf{.}$
$$H(\mathit{k};x)=\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{x}{n_{w_1(\mathit{k})}+1}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})}\frac{1}{n_m+(1-x){\delta }_{\mathit{k},m}}.$$
ここで$n_{a-1}\prec n_a$は、
${\displaystyle \{\begin{array}{}{n}_{a-1}\le n_a& (a\in W_{\mathit{k}})\\ n_{a-1}<n_a& (a\notin W_{\mathit{k}})\end{array}}$を表すものとする。
$\mathit{Proof}\mathit{.}$ (概略)
${\displaystyle C(m,n;x):=\frac{(x{)}_{m}n!}{(m+n)!}}$とすると、部分分数分解などにより
$$\begin{array}{rl} \frac{1}{m}C(m,n;x)& =\sum _{n<a}\frac{1}{a}C(m,a;x)\\ \sum _{m\le a}\frac{1}{a}C(a,n;x)& =\sum _{n\le a}\frac{1}{a+1-x}C(m,a;x)\end{array}$$
が分かるので、${\displaystyle H(\mathit{k};x)=\sum _{0<n_1\le \cdots \le n_r}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}}C(n_r,0x)}$に対して上式２つを繰り返し適用すれば示される。$◻$

${\displaystyle H(\mathit{k}):=H(\mathit{k};\frac{1}{2})=\sum _{0<n_1\le \cdots \le n_r}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n_r}{n_r})}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{2}^{2n_r}}}$とする。
$$
$\mathbf{Theorem}\mathbf{.}$
$$H(\mathit{k})\in \mathsf{AMZV}.$$
$\mathit{Proof}\mathit{.}$
$\text{Main Theorem}$より、
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl} H(\mathit{k})& =\frac{1}{2}\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{1}{n_{w_1(\mathit{k})}+1}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})}\frac{1}{n_m+\frac{1}{2}{\delta }_{\mathit{k},m}}\\ & =-2\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})-1} \\ 0<n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{(-1{)}^{n_{w_1(\mathit{k})}}}{2n_{w_1(\mathit{k})-1}+n_{w_1(\mathit{k})}}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})-1}\frac{1}{n_m+\frac{1}{2}{\delta }_{\mathit{k},m}}\\ & =-2^{w_1(\mathit{k})}\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})-1} \\ 0<n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{(-1{)}^{n_{w_1(\mathit{k})}}}{2n_{w_1(\mathit{k})-1}+n_{w_1(\mathit{k})}}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})-1}\frac{1}{2n_m+{\delta }_{\mathit{k},m}}\\ & =-2\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})-1} \\ 0<n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{(-1{)}^{n_{w_1(\mathit{k})}}}{n_{w_1(\mathit{k})-1}+n_{w_1(\mathit{k})}}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})-1}\frac{1+(-1{)}^{n_m}}{n_m+{\delta }_{\mathit{k},m}}\\ & =-2\sum _{0=n_0\prec n_1\prec \cdots \prec n_{w_1(\mathit{k})-1}<n_{w_1(\mathit{k})}}\frac{(-1{)}^{n_{w_1(\mathit{k})}}}{n_{w_1(\mathit{k})}}\prod _{m=1}^{w_1(\mathit{k})-1}\frac{1+(-1{)}^{n_m}}{n_m+{\delta }_{\mathit{k},m}}\end{array} \end{gathered}$$
総和の等号を適当にずらすことで、分母は${\displaystyle n_1\cdots n_{w_1(\mathit{k})}}$の形になり (具体例も参照) 、分子を展開して総和の等号を分解するとAMZVの$\mathbb{Z}$−線形結合となる。$◻$