二項係数付きMZVメモ

$\mathbf{Definition.}$
空でないインデックス$\bk=(k_1,\ldots,k_r)$と整数$i,j\ (1\leq i\leq r)$に対し、
$$\ba 　w_i(\bk)&:=\sum_{n=i}^rk_n\\ 　W_\bk&:=\{w_i(\bk)\ |\ 1\leq i\leq r\}\\ \delta_{\bk;j}&:=\sum_{n=1}^r\delta_{w_n(\bk),j}=\l\{ \begin{array}[ll] \ 1\ &(j\in W_\bk)\\ 0\ &(j\notin W_\bk) \end{array} \r. \ea$$
以下の級数が収束する$x$に対し、
$$　H(\bk;x):=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(x)_{n_r}}{\bold{n^k}n_r!}$$
$\mathbf{Main\ Theorem.}$
$$　H(\bk;x)=\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)}}\frac{x}{n_{w_1(\bk)}+1}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)}\frac{1}{n_m+(1-x)\delta_{\bk,m}}\ .$$
ここで$n_{a-1}\prec n_a$は、
$\displaystyle\l\{ \begin{array} \ n_{a-1}\leq n_a&(a\in W_\bk)\\ n_{a-1}< n_a&(a\notin W_\bk) \end{array}\r.$を表すものとする。
$\mathit{Proof.}$ (概略)
$\displaystyle C(m,n;x):=\frac{(x)_mn!}{(m+n)!}$とすると、部分分数分解などにより
$$\ba 　\frac1mC(m,n;x)&=\sum_{n< a}\frac1aC(m,a;x)\\ 　\sum_{m\leq a}\frac1aC(a,n;x)&=\sum_{n\leq a}\frac{1}{a+1-x}C(m,a;x) \ea$$
が分かるので、$\displaystyle H(\bk;x)=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{1}{\bold{n^k}}C(n_r,0\ x)$に対して上式２つを繰り返し適用すれば示される。$\small\Box$

$\displaystyle H(\bk):=H(\bk;\frac12)=\sum_{0< n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{\bold{n^k}2^{2n_r}}$とする。
$\ $
$\mathbf{Theorem.}$
$$　H(\bk)\in\mathsf{AMZV}\ .$$
$\mathit{Proof.}$
$\textrm{Main Theorem}$より、
$$\ba 　H(\bk)&=\frac12\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)}}\frac{1}{n_{w_1(\bk)}+1}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)}\frac{1}{n_m+\frac12\delta_{\bk,m}}\\ &=-2\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)-1}\\　　　　0< n_{w_1(\bk)}}\frac{(-1)^{n_{w_1(\bk)}}}{ 2n_{w_1(\bk)-1}+n_{w_1(\bk)}}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)-1}\frac{1}{n_m+\frac12\delta_{\bk,m}}\\ &=-2^{w_1(\bk)}\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)-1}\\　　　　0< n_{w_1(\bk)}}\frac{(-1)^{n_{w_1(\bk)}}}{ 2n_{w_1(\bk)-1}+n_{w_1(\bk)}}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)-1}\frac{1}{2n_m+\delta_{\bk,m}}\\ &=-2\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)-1}\\　　　　0< n_{w_1(\bk)}}\frac{(-1)^{n_{w_1(\bk)}}}{ n_{w_1(\bk)-1}+n_{w_1(\bk)}}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)-1}\frac{1+(-1)^{n_m}}{n_m+\delta_{\bk,m}}\\ &=-2\sum_{0=n_0\prec n_1\prec\cdots\prec n_{w_1(\bk)-1}< n_{w_1(\bk)}}\frac{(-1)^{n_{w_1(\bk)}}}{ n_{w_1(\bk)}}\prod_{m=1}^{w_1(\bk)-1}\frac{1+(-1)^{n_m}}{n_m+\delta_{\bk,m}} \ea$$
総和の等号を適当にずらすことで、分母は$\displaystyle n_1\cdots n_{w_1(\bk)}$の形になり (具体例も参照) 、分子を展開して総和の等号を分解するとAMZVの$\mathbb Z$−線形結合となる。$\small\Box$
$\ $
$\mathbf{Example.}$
$$\ba 　　\ \ H(k)&=-2\sum_{0< n_1<\cdots< n_k}\frac{(1+(-1)^{n_1})\cdots(1+(-1)^{n_k-1})(-1)^{n_k}}{n_1\cdots n_k}\\ &=-2\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\in\{1,\overline1\}}\zeta({n_1},\cdots,{n_{k-1}},\overline1) \ea$$
$$\ba 　H(\{1\}^k)&=-2\sum_{0\leq n_1\leq\cdots\leq n_{k-1}< n_k}\frac{(1+(-1)^{n_1})\cdots(1+(-1)^{n_{k-1}})(-1)^{n_k}}{(n_1+1)\cdots(n_{k-1}+1)n_k}\\ &=-2\sum_{0< n_1\leq n_2\leq\cdots\leq n_k}\frac{(1-(-1)^{n_1})\cdots(1-(-1)^{n_{k-1}})(-1)^{n_k}}{n_1\cdots n_k} \ea$$
この記事 によると、この値は$\displaystyle-2^k\zeta(\overline k)$と等しい。示してみるのも面白いかもしれない。