USAMO 2003 4 を解く

初等幾何

この記事はあくまでも個人のメモとして利用しています．賢い解法などは載っておりませんのでご了承ください．

自己紹介(？)

　僕はただの数弱なので自己紹介は恥ずかしいです．なので遠慮させて頂きます．

USAMOを数弱が解いてみた。

USAMO 2003 4 問題文簡略化

以下の図$1$において
$$ MF=MC \Leftrightarrow MC^2 = MD \cdot MB$$　を示せ．

問題の図形

　流石に問題の本文を載せておきます．(省略し過ぎた…)

原文

Let $ABC$ be a triangle. A circle passing through $A$ and $B$ intersects segments $AC$ and $BC$ at $D$ and $E$, respectively. Lines $AB$ and $DE$ intersect at $F$, while lines $BD$ and $CF$ intersect at $M$. Prove that $MF = MC$ if and only if $MB\cdot MD = MC^2$.

$MF =MC \Rightarrow MC^2 = MD \cdot MB$

　なんか方冪チックな式が出てきましたね．なかなか手強い見た目してます(？)．直接$MC^2=MD\cdot MB $を示すのはなかなか面倒臭いので，方冪の定理を利用するであろうという希望的観測の元，条件の言い換えを行なっていきます．
$$MC ^2 =MD \cdot MB \Leftrightarrow\text{直線$MC$は$\triangle{BCD}$の外接円と接する．}$$
ってことで，外接円に直線が接することを示します．
　とは言っても，しばらく手が止まってしまいました．分からない，どうしよう，そう悩んでいるといつの間にか$20$分経過していました〜(泣)．
　ここで再び図形を眺めてみると，何かに気づきました．
　あ，$Ceva$の定理だ！！いけるぞ！！
　(いい加減，真面目に書きます．)

　まず，以下の予想を示す．

$$AE \parallel FC $$

予想の証明

$Ceva$の定理から
\begin{eqnarray} \frac{FA}{AB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CM}{MF} &=&　1 \\ \Leftrightarrow \frac{AB}{AF} &=& \frac{BE}{EC} \end{eqnarray}
上の式より，$ \triangle \mathrm{BAE} \sim \triangle \mathrm{BFC} $が分かる．これら$2$つの三角形は正の相似となるので，$$ AD \parallel FC $$

　次の順序に従って示す．

$$\measuredangle \mathrm{DBC}=\measuredangle \mathrm{DCM} $$

証明

円周角の定理から
$$\measuredangle \mathrm{DBC} =\measuredangle \mathrm{DAE}$$
ここで予想から
$$\measuredangle \mathrm{DBC}= \measuredangle \mathrm{DAE}=\measuredangle \mathrm{DCM}$$

直線$FC$は$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円に接する．

証明

$ \measuredangle \mathrm{DBC}= \measuredangle \mathrm{DCM}$よりすぐ分かる．

$$MC^2 =MD \cdot MB $$

証明

方冪の定理より分かる．

$MD \cdot MB = MC^2 \Rightarrow MF=MC$

　先程同様，方冪の定理が重要になると思い，すぐに回答を出すことができました．

(iPadでの編集は疲れるのでだいぶ省略します．ご了承ください．)

$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円と直線$BC$は接する．

証明

方冪の定理の逆より分かる．

$\triangle \mathrm{BDF}$の外接円と直線$FC$は接する．

証明

$Angle\; Chase$を繰り返して
$$\measuredangle \mathrm{ABD}=90^\circ-\measuredangle \mathrm{MBC} - \measuredangle \mathrm{CFE} - \measuredangle \mathrm{EFB} =90^\circ - \measuredangle \mathrm{CFB}-\measuredangle \mathrm{ACF}=90^\circ - \measuredangle \mathrm{CBA}=90^\circ - \measuredangle \mathrm{FEC}=\measuredangle \mathrm{CFE} $$
より分かる．

$MF=MC$

証明

方冪の定理を用いて
$$ MF^2 = MD\cdot MB = MC^2 $$
より分かる．