$a,b$は $a>b$を満たす非不整数とし， $p,d$ は素数で$p>2$を満たすとする．このとき， $a^p-b^p=d$ならば $d \equiv 1 (\mathrm{mod}2p)$となることを示せ．
❶$a,b$の関係，$d$の性質を調べましょう
❷場合分けをしましょう
❸定理を使いましょう
$$a^p-b^p=(a-b)\cdot \sum_{k=1}^{p-1} a^k\cdot b^{p-1-k}=d$$
より，$a-b$は$1$または$d$となるが，$d$が不適であることは明らかなので，$a-b=1$ (なぜだか考えてみましょう．)．
よって，
$$a=b+1$$
を得る．
よって$a,b$の偶奇が異なることから，
$$d \equiv 1 (\mathrm{mod}2)$$
(i)$b \equiv 0,-1 (\mathrm{mod}p)$:
$$d=(b+1)^p-b^p\equiv 1 (\mathrm{mod}p)$$
(ii)otherwise:
Fermatの小定理より，
$$d=(b+1)^p-b^p \equiv (b+1)-b=1(\mathrm{mod}p)$$
(i),(ii)より，$d\equiv 1 (\mathrm{mod}p)$
$p,q,a_i$は自然数で，$a_i< p< q$かつ$p,q$は互いに素であるとする．ある自然数$n$において，$n \equiv a_i (\mathrm{mod}p)$かつ$n\equiv a_i (\mathrm{mod}q)$ならば， $n\equiv a_i (\mathrm{mod}pq)$が成立する．
命題$1$より，$d\equiv 1 (\mathrm{mod}2p)$が示された．
(証明終)
なぜこの問題を取り上げたのか，それはFermatの小定理を用いる入試問題だからです．小定理の証明は入試で見かけますが，実際にこの定理を用いて問題を解くということは，入試においてはあまり見られないと思っていたので取り上げました．
命題$1$の証明は試してみてください．簡単に証明できます．