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京都大学1995年2番に向かう

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京都大学1995，問題文一部改

$a, b$ は $a > b$ を満たす非不整数とし， $p, d$ は素数で $p > 2$ を満たすとする．このとき， $a^{p} - b^{p} = d$ ならば $d \equiv 1 (\mod 2 p)$ となることを示せ．

簡単な解答の方針

❶ $a, b$ の関係， $d$ の性質を調べましょう
❷場合分けをしましょう
❸定理を使いましょう

❶の解答

$a^{p} - b^{p} = (a - b) \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} a^{k} \cdot b^{p - 1 - k} = d$
より， $a - b$ は $1$ または $d$ となるが， $d$ が不適であることは明らかなので， $a - b = 1$ (なぜだか考えてみましょう．)．
よって，
$a = b + 1$
を得る．
よって $a, b$ の偶奇が異なることから，
$d \equiv 1 (\mod 2)$

❷，❸の解答

(i) $b \equiv 0, - 1 (\mod p)$ :
$d = (b + 1)^{p} - b^{p} \equiv 1 (\mod p)$
(ii)otherwise:
Fermatの小定理より，
$d = (b + 1)^{p} - b^{p} \equiv (b + 1) - b = 1 (\mod p)$
(i),(ii)より， $d \equiv 1 (\mod p)$

最後の〆

$p, q, a_{i}$ は自然数で， $a_{i} < p < q$ かつ $p, q$ は互いに素であるとする．ある自然数 $n$ において， $n \equiv a_{i} (\mod p)$ かつ $n \equiv a_{i} (\mod q)$ ならば， $n \equiv a_{i} (\mod p q)$ が成立する．