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差動入力増幅器の出力電圧　理論計算(仮稿)

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"MathLog"には似合わず電子回路の計算になりますがお付き合いください．

図の差動入力増幅回路(differential input amplifier)における出力電圧 $V_{o}$ を計算していきます．

差動入力増幅器(differential input amplifier)

〈仮定〉オペアンプは理想オペアンプであるとし，入力電流 $i_{i n} = 0$ ，オペアンプの端子間電圧 $v_{i} = 0$ とします．

抵抗 $R_{4}$ の両端電圧 $V_{4}$ は，common-mode(共通モード)電圧を $V_{c m}$ として，以下で示されるでしょう．
$V_{4} = (V_{c m} + V_{B}) \times \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}$
また，点PにおけるKCL(Kirchhoff's Current Law)より， $i_{1} = i_{2}$ であるから，
$i_{1} = \frac{V_{c m} + V_{A} - V_{4}}{R_{1}} = i_{2} = \frac{V_{4} - V_{o}}{R_{2}} .$
両辺に $R_{1} R_{2}$ をかけて，
$\begin{aligned} R_{2} (V_{c m} + V_{A} - V_{4}) & = R_{1} (V_{4} - V_{o}) \\ R_{2} V_{c m} + R_{2} V_{A} - R_{2} V_{4} & = R_{1} V_{4} - R_{1} V_{o} \\ R_{1} V_{o} & = R_{1} V_{4} + R_{2} V_{4} - R_{2} V_{A} - R_{2} V_{c m} \\ = (R_{1} + R_{2}) V_{4} - R_{2} (V_{A} + V_{c m}) \end{aligned}$
となりますが，ここに $V_{4} = (V_{c m} + V_{B}) \times \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}$ を代入して展開すると，
$\begin{aligned} R_{1} V_{o} & = (R_{1} + R_{2}) \times (V_{c m} + V_{B}) \times \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} - R_{2} (V_{A} + V_{c m}) \\ = {(R_{1} + R_{2}) V_{c m} + (R_{1} + R_{2}) V_{B}} \times \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} - R_{2} V_{A} - R_{2} V_{c m} \\ = \frac{(R_{1} + R_{2}) R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} + \frac{(R_{1} + R_{2}) R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - R_{2} V_{A} - R_{2} V_{c m} \end{aligned}$
となります．さらに辺々 $R_{1}$ で割って $V_{c m}$ と $V_{A}$ と $V_{B}$ でまとめると，
$\begin{aligned} V_{o} & = \frac{1}{R_{1}} {\frac{(R_{1} + R_{2}) R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} - R_{2} V_{c m} + \frac{(R_{1} + R_{2}) R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - R_{2} V_{A}} \\ = \frac{1}{R_{1}} {\frac{(R_{1} + R_{2}) R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} - \frac{R_{2} (R_{3} + R_{4})}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} + \frac{R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - R_{2} V_{A}} \\ = \frac{1}{R_{1}} {\frac{R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} - R_{2} R_{3} - R_{2} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} + \frac{R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - R_{2} V_{A}} \\ = \frac{1}{R_{1}} {\frac{R_{1} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} - \frac{R_{2} R_{3}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} + \frac{R_{1} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} + \frac{R_{2} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - R_{2} V_{A}} \\ = \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} - \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{3}}{R_{3} + R_{4}} V_{c m} + \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} + \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} V_{B} - \frac{R_{2}}{R_{1}} V_{A} \\ = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} - \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{3}}{R_{3} + R_{4}}) V_{c m} + (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} + \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{B} - \frac{R_{2}}{R_{1}} V_{A} \end{aligned}$

以上が差動入力増幅器の出力電圧となります．

さらにここから，平衡条件： $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{4}}{R_{3}}$ を満たすとき，非常に有用な挙動をします．この平衡条件の値を $α = \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{4}}{R_{3}}$ とおくと，
$\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} = \frac{R_{4} / R_{3}}{1 + R_{4} / R_{3}} = \frac{α}{1 + α}$
となるので，
$\begin{aligned} V_{o} & = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} - \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{c m} + (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}} + \frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{B} - \frac{R_{2}}{R_{1}} V_{A} \\ = (\frac{α}{1 + α} - α + α \times \frac{α}{1 + α}) V_{c m} + (\frac{α}{1 + α} + α \times \frac{α}{1 + α}) V_{B} - α V_{A} \\ = \frac{α - α (1 + α) + α^{2}}{1 + α} V_{c m} + \frac{α + α^{2}}{1 + α} V_{B} - α V_{A} \\ = \frac{α - α - α^{2} + α^{2}}{1 + α} V_{c m} + \frac{α (1 + α)}{1 + α} V_{B} - α V_{A} \\ = α V_{B} - α V_{A} \\ = α (V_{B} - V_{A}) = \frac{R_{2}}{R_{1}} (V_{B} - V_{A}) \end{aligned}$
この式から得られることは，以下のようになるでしょう．

差動入力増幅器が平衡条件 $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{4}}{R_{3}}$ を満たしている時，
・common-mode 電圧 $V_{c m}$ は除去される．
・2入力電圧の差である $V_{B} - V_{A}$ が $R_{2} / R_{1}$ 倍されて出力される．