入試の整数問題

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こんにちは〜 ( *・ω・)ノ
今日は易しい記事ですが東京大学の入試問題の解答をなんとなく書きました(ネタバレ注意)
「数学的帰納法」の「n=kのとき正しいと仮定する。(中略)。よってn=k+1も正しい」とかいう
「受験のおはこ」が嫌いすぎてカチッとした証明を書きたかった次第です。

東京大学2017

$p = 2 + \sqrt{5} 、 n = 2, \dots 、 a_{n} = p^{n} + (- \frac{1}{p})^{n} 、 a_{1} = p - \frac{1}{p} とする。$
(1) $a_{1}, a_{2} を求めよ (答えのみでよい)$
(2) $a_{1} a_{n} を a_{n + 1}, a_{n - 1} を用いて表せ$
(3) $a_{n} は整数であることを証明せよ$
(4) $a_{n} と a_{n + 1} の最大公約数を求めよ$

解答

(1)
$a_{1} = 4, a_{2} = 18$
(2)
$a_{1} a_{n} = (p - \frac{1}{p}) (p^{n} - (- \frac{1}{p})^{n} = (p^{n + 1} + (- \frac{1}{p})^{n + 1}) - (p^{n - 1} + (- \frac{1}{p})^{n + 1})$
$∴ a_{1} a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1}$
(3)
$b_{n} = \frac{1}{2} a_{n} 、 b_{1} = 2 \in ℤ とする。$
$a_{1} (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}) = (a_{n + 1} - a_{n - 1}) + (a_{n} - a_{n - 2}) + \dots + (a_{3} - a_{1})$
$b_{1} (a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}) = b_{n + 1} + b_{n} - b_{2} - b_{1}$
$b_{n + 1} = 2 b_{1} (b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n}) - b_{n} + 11$
$命題 P_{n} を P_{n} \Leftrightarrow 「 b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n} \in ℤ 」と定義する。 b_{2} = 9 より P_{2} は真。$
$(★) より P_{n} \Rightarrow P_{n + 1} なので再帰的に用いると P_{2} \Rightarrow P_{3} \Rightarrow \dots \Rightarrow P_{n} \Rightarrow \dots である。$
$P_{n} が真なので題意は示された。$
(4)
$命題 Q_{n} を Q_{n} \Leftrightarrow 「奇素数 q が存在して a_{n - 1} / q, a_{n} / q \in ℤ 」と定義する。$
$(2) より Q_{n} \Rightarrow \frac{1}{q} a_{n + 1} = \frac{1}{q} a_{n - 1} + a_{1} \times \frac{1}{q} a_{n} \in ℤ なので Q_{n} \Rightarrow Q_{n + 1} である。$
$しかし a_{1} = 4 より Q_{2} は偽。再帰的に Q_{2} \Rightarrow Q_{3} \Rightarrow \dots \Rightarrow Q_{n} \Rightarrow \dots は偽。$
$ここで (★) より b_{n + 1} \equiv - b_{n} + 11 \equiv b_{n} + 1 (m o d 2) なので b_{n}, b_{n + 1} の偶奇は不一致。$
$以上より a_{n}, a_{n + 1} はともに偶数だが、 2 つともに 4 や奇素数で割り切れることは無い。$
$故に a_{n}, a_{n + 1} の最大公約数は 2 。$

風邪引いて何も出来なかったので記事書きましたが、受験勉強があるので4ヶ月後に終わるまでは面白い記事の更新は出来ないと思いますが、これからもよろしくお願いします...((｡´･ω･)｡´_ _))ﾍﾟｺﾘﾝ

投稿日：2020年11月9日

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赤げふ

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東工大情報M1 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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