入試の整数問題
こんにちは〜 ( *・ω・)ノ
今日は易しい記事ですが東京大学の入試問題の解答をなんとなく書きました(ネタバレ注意)
「数学的帰納法」の「n=kのとき正しいと仮定する。(中略)。よってn=k+1も正しい」とかいう
「受験の お は こ」が嫌いすぎてカチッとした証明を書きたかった次第です。
$p=2+\sqrt{5}、n=2,\ldots、a_n= p^n+(-\frac 1p)^n 、a_1=p-\frac 1pとする。$
(1)$a_1,a_2を求めよ(答えのみでよい)$
(2)$a_1 a_nをa_{n+1},a_{n-1}を用いて表せ$
(3)$a_nは整数であることを証明せよ$
(4)$a_nとa_{n+1}の最大公約数を求めよ$
(1)
$a_1=4,a_2=18$
(2)
$a_1 a_n = (p-\frac 1p)(p^n-(-\frac 1p)^n=(p^{n+1}+(-\frac 1p)^{n+1})-(p^{n-1}+(-\frac 1p)^{n+1})$
$∴a_1 a_n =a_{n+1} -a_{n-1}$
(3)
$b_n=\h a_n、b_1=2∈ℤとする。$
$a_1 (a_2 +a_3 +\cdots +a_n)=(a_{n+1}-a_{n-1})+(a_n-a_{n-2})+\cdots +(a_3-a_1)$
$b_1 (a_2 +a_3 +\cdots +a_n)=b_{n+1}+b_n-b_2-b_1$
$b_{n+1}=2b_1(b_2 +b_3 +\cdots +b_n)-b_n+11\tag ★$
$命題P_nをP_n\Leftrightarrow 「b_2,b_3,\ldots ,b_n∈ℤ」と定義する。b_2=9よりP_2は真。$
$(★)よりP_n\Rightarrow P_{n+1}なので再帰的に用いるとP_2⇒P_3⇒\cdots ⇒P_n⇒\cdotsである。$
$P_nが真なので題意は示された。$
(4)
$命題Q_nをQ_n\Leftrightarrow 「奇素数qが存在してa_{n-1}/q,a_n/q∈ℤ」と定義する。$
$(2)よりQ_n\Rightarrow \frac 1q a_{n+1}=\frac 1q a_{n-1}+ a_1×\frac 1q a_n∈ℤなのでQ_n\Rightarrow Q_{n+1}である。$
$しかしa_1=4よりQ_2は偽。再帰的にQ_2⇒Q_3⇒\cdots⇒Q_n⇒\cdotsは偽。$
$ここで(★)よりb_{n+1}≡-b_n+11≡b_n+1 \ \ \ \ (mod \ 2)なのでb_n,b_{n+1}の偶奇は不一致。$
$以上よりa_n,a_{n+1}はともに偶数だが、2つともに4や奇素数で割り切れることは無い。$
$故にa_n,a_{n+1}の最大公約数は2。$
風邪引いて何も出来なかったので記事書きましたが、受験勉強があるので4ヶ月後に終わるまでは面白い記事の更新は出来ないと思いますが、これからもよろしくお願いします...((｡´･ω･)｡´_ _))ﾍﾟｺﾘﾝ