0

トリリウムの定理で瞬殺せよ.

441
0
$$\newcommand{aqr}[0]{\triangle \mathrm} \newcommand{q}[0]{\mathrm} $$

この記事は特に深掘りしていません.

目次

1.トリリウムの定理とは
2.問題(2問だけ)
3.問題2の解答
4.終わり

トリリウムの定理とは

 ざっくりと言えば,内心と外接円,傍心を絡めた定理です.

トリリウムの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$において,内心$\mathrm I$$\angle \mathrm A$の傍心を$\mathrm{I_A}$,外接円$\omega$と直線$\mathrm{AI}$の交点を$\mathrm D$とする.このとき,$4$$\mathrm{I,B,C,I_A}$は点$\mathrm{D}$を中心とした同一円周上に存在する.尚,線分$\mathrm{I\;I_A}$$\omega$の直径となる.

証明は こちら

トリリウムの定理 トリリウムの定理
 最初この定理を見たとき,こんな定理どこで使うんだよ!と思っていました.しかし,OMC132(F)で出題されてしまいました(泣).まさかの4bで黄diffというすさまじい事態が起きてしまいました.これ以降,なぜかトリリウムの定理を知っている人たちが急増しました.

問題(2問だけ)

OMC132(F)

$5$$A,B,C,D,E$はこの順で同一直線上に並んでおり,次を満たします.
$$AB=7,BC=3,CD=4,DE=6$$
 平面上に相異なる$2 $$F,G$をとると,$3$$E,F,G$は同一直線上になく,三角形$EFG $の内心は$D $になり,三角形$EFG$の外接円$\omega$$B$を通りました.直線$AF $$\omega$の交点のうち$F$でない方を$H$とします.$HC=8$のとき$FD^2$を求めて下さい.
 ただし,答えは互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので,$a+b $を解答して下さい.

 解答は こちら

2013 Harvard-MIT Mathematics Tournament Geometry Team 6

Let triangle $ABC$ satisfy $2BC = AB+AC$ and have incenter $I$ and circumcircle $\omega$. Let $D$ be the intersection of $AI$ and $\omega$ (with $A, D$ distinct). Prove that $I$ is the midpoint of $AD$.

 この問題はそれなりの(?)解答を書こうと思います.問題文の解読は自力で頑張ってください.

問題2の解答

 図は以下のよう.
問題2 問題2
 $\angle \mathrm{A}$の傍心を$\mathrm {I_A}$とすると,トリリウムの定理より,$4$$\mathrm{B,I,C,I_A}$は同一円周上に存在し,$\mathrm D$はその円の中心となる.
 点を以下の図のようにおく.(図3)
問題2 問題2
 $\aqr{AIK}$$\aqr{AI_AH}$は相似であるので,$3\mathrm{AK}=\mathrm{AH}$を示せばよい.$\q{AK}=x,\q{AC}=x+y,\q{BC}=y+z,\q{BA}=z+x$となるように正実数$x,y,z$を定めると(Ravi変換),問題文の条件から$y+z=2x$がわかる.よって,$\q{AH}=\frac{\q{AB+BC+CA}}{2}=\frac{2(x+y+z)}{2}=3x$がわかる.
 よって$3\q{AK}=\q{AH}$となり,トリリウムの定理を踏まえると点$\q I$は線分$\q{AD}$の中点であることが示された.(証明終)

終わり

 トリリウムの定理は忘れた頃にやってくる恐ろしい定理です(偏見).ただ,知っていると一発なので覚えておくといいかもしれません.

余談なのですが,わざわざRavi変換する必要なかったですね🙂

投稿日:20221219

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

pqr_mgh
5
1725

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中