トリリウムの定理で瞬殺せよ．

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この記事は特に深掘りしていません．

トリリウムの定理とは

　ざっくりと言えば，内心と外接円，傍心を絡めた定理です．

トリリウムの定理

$△ ABC$ において，内心 $I$ ， $∠ A$ の傍心を $I_{A}$ ，外接円 $ω$ と直線 $AI$ の交点を $D$ とする．このとき， $4$ 点 $I, B, C, I_{A}$ は点 $D$ を中心とした同一円周上に存在する．尚，線分 $I I_{A}$ は $ω$ の直径となる．

証明はこちら

トリリウムの定理
　最初この定理を見たとき，こんな定理どこで使うんだよ！と思っていました．しかし，OMC132(F)で出題されてしまいました(泣)．まさかの4bで黄diffというすさまじい事態が起きてしまいました．これ以降，なぜかトリリウムの定理を知っている人たちが急増しました．

問題（2問だけ）

OMC132(F)

$5$ 点 $A, B, C, D, E$ はこの順で同一直線上に並んでおり，次を満たします．
$A B = 7, B C = 3, C D = 4, D E = 6$
　平面上に相異なる $2$ 点 $F, G$ をとると， $3$ 点 $E, F, G$ は同一直線上になく，三角形 $E F G$ の内心は $D$ になり，三角形 $E F G$ の外接円 $ω$ は $B$ を通りました．直線 $A F$ と $ω$ の交点のうち $F$ でない方を $H$ とします． $H C = 8$ のとき $F D^{2}$ を求めて下さい．
　ただし，答えは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表されるので， $a + b$ を解答して下さい．

　解答はこちら

2013 Harvard-MIT Mathematics Tournament Geometry Team 6

Let triangle $A B C$ satisfy $2 B C = A B + A C$ and have incenter $I$ and circumcircle $ω$ . Let $D$ be the intersection of $A I$ and $ω$ (with $A, D$ distinct). Prove that $I$ is the midpoint of $A D$ .

　この問題はそれなりの(？)解答を書こうと思います．問題文の解読は自力で頑張ってください．

問題2の解答

　図は以下のよう．
問題2 問題2
　 $∠ A$ の傍心を $I_{A}$ とすると，トリリウムの定理より， $4$ 点 $B, I, C, I_{A}$ は同一円周上に存在し， $D$ はその円の中心となる．
　点を以下の図のようにおく．(図3)
問題2 問題2
　 $△ AIK$ と $△ {AI}_{AH}$ は相似であるので， $3 AK = AH$ を示せばよい． $AK = x, AC = x + y, BC = y + z, BA = z + x$ となるように正実数 $x, y, z$ を定めると(Ravi変換)，問題文の条件から $y + z = 2 x$ がわかる．よって， $AH = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{2 (x + y + z)}{2} = 3 x$ がわかる．
　よって $3 AK = AH$ となり，トリリウムの定理を踏まえると点 $I$ は線分 $AD$ の中点であることが示された．(証明終)