IMO 1992 5 (FE)(メモ用)

答案(？)

与式への代入を$P(x,y)$と表す．
$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(0,y)\Rightarrow f(f(y))=y+\{f(0){\}}^2\end{array}$$
よって$f$は全射．
次に$f$が単射であることを示す．

証明．

$f(a)=f(b)=r$のとき，
$$\begin{array}{}\text{(2)}& P(x,a)\Rightarrow f(x^2+r)=a+\{f(x){\}}^2\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(3)}& P(x,b)\Rightarrow f(x^2+r)=b+\{f(x){\}}^2\end{array}$$
(2)，(3)式より，$a=b$となり，$f$が単射であることが示された．(証明終)

よって$f(x)=0$となる$x$は一意に定まるので，これを$k$とする．
$$P(0,0)\Rightarrow f(f(0))=\{f(0){\}}^2$$
$f(0)=c$とすると，$f(c)=c^2$.
$$\begin{array}{}\text{(4)}& P(c,k)\Rightarrow f(c^2)=c^2+k\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(5)}& P(0,c)\Rightarrow f(f(c))=c^2+c\iff f(c^2)=c^2+c\end{array}$$
(4)，(5)式より，$k=c$．
よって，$f(c)=c^2=0$となり，$c=0$を得る．
$$\begin{array}{}\text{(6)}& P(x,0)\Rightarrow f(x^2)=\{f(x){\}}^2\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(7)}& P(-x,0)\Rightarrow f(x^2)=\{f(-x){\}}^2\end{array}$$
$f$が全単射であることを考慮すると，(6)，(7)式から$f(x)=-f(-x)$を得る．
ここで与式は(1)，(6)式より，$x^2=u,f(y)=v>0$として，
$$\begin{array}{}\text{(8)}& f(u+v)=f(u)+f(v){}^{\mathrm{\forall }}u,v\in {\mathbb{R}}^{+}.\end{array}$$
(8)式は，コーシーの関数方程式の有名事実から，
$$f(x)=ax{}^{\mathrm{\forall }}x\in {\mathbb{R}}^{+}.$$
簡単な計算により，$a=1$となるので，(自力で確かめよ．)
$$\begin{array}{}\text{(9)}& f(x)=x{}^{\mathrm{\forall }}x\in {\mathbb{R}}^{+}.\end{array}$$
また，負の実数についても
$$f(-x)=-f(x)=-x{}^{\mathrm{\forall }}x\in {\mathbb{R}}^{+}.$$
より，
$$\begin{array}{}\text{(10)}& f(x)=x{}^{\mathrm{\forall }}x\in {\mathbb{R}}^{-}.\end{array}$$
(9)，(10)式および$f(0)=0$から，
$$f(x)=x{}^{\mathrm{\forall }}x\in \mathbb{R}.$$
逆に$f(x)=x$が与式を満たすことは容易にわかるので，求める解は
$$f(x)=x{}^{\mathrm{\forall }}x\in \mathbb{R}.$$
(解答終わり．)