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IMO 1992 5 (FE)(メモ用)

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メモ用なのでだいぶ雑です.

IMO 1992 5

Let $\,{\mathbb{R}}\,$ denote the set of all real numbers. Find all functions $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\,$ such that $$ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{for all}\,x,y\in \mathbb{R}.$$

答案(?)

与式への代入を$P(x,y)$と表す.
$$P(0,y)\Rightarrow f(f(y))=y+\{ f(0) \}^2\tag{1} $$
よって$f$は全射.
次に$f$が単射であることを示す.

証明.

$f(a)=f(b)=r$のとき,
$$P(x,a)\Rightarrow f(x^2+r)=a+\{f(x)\}^2 \tag{2}$$
$$P(x,b)\Rightarrow f(x^2+r)=b+\{f(x)\}^2\tag{3}$$
(2),(3)式より,$a=b$となり,$f$が単射であることが示された.(証明終)

よって$f(x)=0$となる$x$は一意に定まるので,これを$k$とする.
$$P(0,0) \Rightarrow f(f(0))=\{f(0)\}^2$$
$f(0)=c$とすると,$f(c)=c^2$.
$$P(c,k)\Rightarrow f(c^2)=c^2+k\tag{4}$$
$$P(0,c)\Rightarrow f(f(c))=c^2+c \Leftrightarrow f(c^2)=c^2+c\tag{5}$$
(4),(5)式より,$k=c$
よって,$f(c)=c^2=0$となり,$c=0$を得る.
$$P(x,0)\Rightarrow f(x^2)=\{f(x)\}^2 \tag{6}$$
$$P(-x,0)\Rightarrow f(x^2)=\{f(-x)\}^2\tag{7}$$
$f$が全単射であることを考慮すると,(6),(7)式から$f(x)=-f(-x)$を得る.
ここで与式は(1),(6)式より,$x^2=u,f(y)=v>0$として,
$$ f(u+v) =f(u)+f(v)\hspace{0.2in} ^{\forall}u,v \in \mathbb{R}^+. \tag{8}$$
(8)式は,コーシーの関数方程式の有名事実から,
$$f(x)=ax \;\;\; ^{\forall}x \in \mathbb{R}^+. $$
簡単な計算により,$a=1$となるので,(自力で確かめよ.)
$$f(x)=x\;\;\; ^{\forall}x \in \mathbb{R}^+. \tag{9}$$
また,負の実数についても
$$f(-x)=-f(x)=-x \;\;\; ^{\forall}x \in \mathbb{R}^+.$$
より,
$$f(x)=x \;\;\; ^{\forall}x \in \mathbb{R}^-. \tag{10}$$
(9),(10)式および$f(0)=0$から,
$$f(x)=x\;\;\; ^{\forall}x \in \mathbb{R}.$$
逆に$f(x)=x$が与式を満たすことは容易にわかるので,求める解は
$$f(x)=x \;\;\;^{\forall}x\in \mathbb{R}.$$
(解答終わり.)

投稿日:20221221

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投稿者

pqr_mgh
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