AMC day4 の記事の補題の証明

概要

この記事はAMC2022 (Advent Math Calendar2022) というイベントに筆者が参加するにあたって書いた次の記事( https://mathlog.info/articles/3735 ) に登場する補題の証明を記したものである
この記事自体は正直つまらないのでブラウザバック推奨です

補題の証明

補題0,3

非負整数$a,b$について $f^a(f^b(x))=f^{a+b}(x)$

証明

定義より明らか

補題1,1

非負整数$k,l,m$について、$f^m(x)=x\Rightarrow f^{km+l}(x)=f^l(x)$

証明

補題0,3より明らか

補題1,2

非負整数$i$について、
$f^i(\alpha )=\alpha \iff i\equiv 0(modm)$

証明

$\Leftarrow i=km$とおけるので補題1,1を適用して$f^i(\alpha )=f^0(\alpha )=\alpha$
$\Rightarrow imodm=n$とすると$f^i(\alpha )=f^n(\alpha )=\alpha (0\le n<m)$となる
$cy{c}_m(f)$の定義より、このような$n$は$0$しかないので$i\equiv 0(modm)$

補題2,1

$cy{c}_m(f,\alpha )=cy{c}_m(f,\beta )\iff \beta =f^k(\alpha )$なる非負整数$k$が存在する

証明

$\Rightarrow$明らかに$\beta \in cy{c}_m(f,\beta )$なので$\beta \in cy{c}_m(f,\alpha )$
$cy{c}_m(f,\alpha )$の定義より$\beta =f^k(\alpha )$なる非負整数$k$が存在する
$\Leftarrow$仮定より$f^l(\beta )=f^{k+l}(\alpha )$なので$cy{c}_m(f,\alpha )\supset cy{c}_m(f,\beta )$
また、$kmodm=n$とすると$f^{m-n}(\beta )=f^{k+m-n}(\alpha )=\alpha$より、同様にして$cy{c}_m(f,\alpha )\subset cy{c}_m(f,\beta )$
よって$cy{c}_m(f,\alpha )=cy{c}_m(f,\beta )$

補題2,3

$cy{c}_m(f,\alpha )=${$f^k(\alpha )$|$k$は$m$未満の非負整数$$}、特に$|cy{c}_m(f,\alpha )|=m$である

証明

補題1,1より明らか

補題2,4

$f^k(\alpha )\in cy{c}_m(f)$、特に$cy{c}_m(f,\alpha )\subset cy{c}_m(f)$である

証明

$f^n(f^k(\alpha ))=f^{n+k}(\alpha )=f^k(\alpha )\iff n+k\equiv k(modm)\iff n\equiv 0(modm)$より
$f^m(f^k(\alpha ))=f^k(\alpha )$かつ$m$未満のすべての正整数$n$について$f^n(f^k(\alpha ))\ne f^k(\alpha )$
よって$f^k(\alpha )\in cy{c}_m(f)$、また定義より$cy{c}_m(f,\alpha )\subset cy{c}_m(f)$