$$\newcommand{a}[0]{\mathrm}
\newcommand{q}[0]{\Rightarrow}
\newcommand{s}[0]{\mathbb}
\newcommand{w}[0]{\Leftrightarrow}
\newcommand{z}[0]{\tag}
$$
演習問題の解答は2023年 3/26現在，工事中です．申し訳ございません．
Introduction
$$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x+y)+f(x)f(y)$$
この型の関数方程式を見かけたことがあるかもしれません．(一度これを解こうとしたのですが，僕では解けませんでした…)個人的にこの型を併合型と呼んでいるので，この記事では併合型と記します．
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
$$f(xy)=f(x)f(y)$$
上の$2$つを足し合わせると，併合型が出来上がります．$f(x)=x$の問題を作るのならばとても都合がいいことがよくわかります．
実際，併合型の関数方程式を書き換えた問題が極稀に見受けられます．書き換えられてはいるものの，形がものすごく似ているので気付きやすいと思います．(個人的な考えですが)大体，解が$f(x)=x$，もしくはそれに似た形になると思っています．
長々と書いても仕方がないので，実際に問題を見ていきましょう．
簡単な例題
Find all functions $ f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ such that for each $ x,y\in\mathbb R$:
$$xf(y)+f(x)+f(y)=f(x+y)+yf(x)$$
いちおう，いちおう併合型です．(あまりにも簡単ですが…)解は$f(x)=cx$です．
$\a P(x,y)$で与式への代入を表します．
$$\a P(0,0) \q f(0)=0$$
$$\a P(x,-x) \q f(x)+f(-x)=-x(f(x)+f(-x)) \w f(x)=-f(-x)$$
ここまではどの関数方程式の問題でも行う代入です．
$$\a P(-x,-y) \q xf(y)-f(x)-f(y)=-f(x+y)+yf(x)$$
$$\frac{\a P(x,y)- \a P(-x,-y)}{2} \q f(x)+f(y)=f(x+y)$$
僕の個人的な考えでは，併合型では，コーシーの関数方程式が鍵を握ると思っています．実際，上の関数方程式の解はコーシーの関数方程式の有名事実から$f(x)=cx$となります．十分性は容易に確かめることができます．
$\a P(x,y)$と$\a P(-x,-y)$を根性で作り出すことが大切だと思います．
演習問題
Iran TST 2008
Find all functions $ f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ such that for each $ x,y\in\mathbb R$:
$$f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)$$
ヒント❶
$f(x)$のとり得る値の範囲を調べましょう．
ヒント❷
与式の書き換えをしましょう．
解答解説
与式への代入を$\a P(x,y)$と表す．
$$\a P(0,y) \q 2f(0) +y= f(f(y))+yf(0) \w f(f(y))=2f(0)+(1-f(0))y \tag{1}$$
case1;$ f(0)=1$:
$$\a P(0,y) \q f(f(y))=2f(0)=2$$
$$\a P(x,0) \q = 2f(x)=f(x+1)$$
$$f(f(f(y)))=f(2)=2f(1)=4f(0)=4\not=2 \q \text{Contradiction.}$$
case2;$otherwise$:
$f$は全射．よって$f(x)=0$となる実数$x$が存在するので，これを$c$とする．
$$\a P(c,c)\q f(0)+c=0 \w c=-f(0)$$
$$\a P(c,0) \q f(cf(0))=f(0) \w f(-c^2)=-c$$
$$\a P(c,-c^2) \q f(cf(-c^2))-c^2=f(f(-c^2)+c)\w f(-c^2)-c^2=f(c-c)\w -c-c^2=-c\w c=0$$
よって(1)は
$$f(f(y))=y$$
となり，$f$が全単射であることがわかる．
$$\a P(1,f(x))\q 2f(x)+f(1)=f(x+1)+f(1)f(x)$$
$$\a P(x,f(1))\q 2f(x)+f(1)=f(x+1)+f(x)$$
$2$つ式を比較することで，$f(1)=1$を得る．よって，
$$f(x+1)=f(x)+1 \w f(x+n)=f(x)+n\;\;\; ^{\forall}n \in \s Z \q f(n)=n\;\;\; ^{\forall}n \in \s Z \tag{2}$$
$$\a P(x,f(y)) \q f(xy)+f(x)+f(y)=f(x+y)+f(x)f(y)\tag{3}$$
(3)式への代入を$\a Q(x,y)$と表す．
$$\a Q(x,-1)\q f(-x)+f(x)+f(-1)=f(x-1)+f(-1)f(x)\w f(x)=-f(-x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (\because (2))$$
$$\a Q(-x,-y)\q f(xy)-f(x)-f(y)=-f(x+y)+f(x)f(y)$$
よって，
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(xy)=f(x)f(y) \\
f(x+y)=f(x)+f(y)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
これを満たすのは$f(x)=x$のみである．十分性は容易に確かめられる．
よって求める解は
$$f(x)=x$$
IMO Shortlist 2012, Algebra 5
Find all functions $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ that satisfy the conditions
$$f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y) \quad \text{for all } x,y \in \mathbb{R},$$
and $f(-1) \neq 0$.
解説は後日記述予定です．