典型(?)関数方程式（現在工事中）

演習問題の解答は2023年 3/26現在，工事中です．申し訳ございません．

Introduction

$f (x y) + f (x) + f (y) = f (x + y) + f (x) f (y)$
　この型の関数方程式を見かけたことがあるかもしれません．(一度これを解こうとしたのですが，僕では解けませんでした…)個人的にこの型を併合型と呼んでいるので，この記事では併合型と記します．
$f (x + y) = f (x) + f (y)$
$f (x y) = f (x) f (y)$
　上の $2$ つを足し合わせると，併合型が出来上がります． $f (x) = x$ の問題を作るのならばとても都合がいいことがよくわかります．
　実際，併合型の関数方程式を書き換えた問題が極稀に見受けられます．書き換えられてはいるものの，形がものすごく似ているので気付きやすいと思います．(個人的な考えですが)大体，解が $f (x) = x$ ，もしくはそれに似た形になると思っています．
　長々と書いても仕方がないので，実際に問題を見ていきましょう．

簡単な例題

Find all functions $f : R \to R$ such that for each $x, y \in R$ :
$x f (y) + f (x) + f (y) = f (x + y) + y f (x)$

　いちおう，いちおう併合型です．(あまりにも簡単ですが…)解は $f (x) = c x$ です．
$P (x, y)$ で与式への代入を表します．
$P (0, 0) \Rightarrow f (0) = 0$
$P (x, - x) \Rightarrow f (x) + f (- x) = - x (f (x) + f (- x)) \Leftrightarrow f (x) = - f (- x)$
　ここまではどの関数方程式の問題でも行う代入です．
$P (- x, - y) \Rightarrow x f (y) - f (x) - f (y) = - f (x + y) + y f (x)$
$\frac{P (x, y) - P (- x, - y)}{2} \Rightarrow f (x) + f (y) = f (x + y)$
　僕の個人的な考えでは，併合型では，コーシーの関数方程式が鍵を握ると思っています．実際，上の関数方程式の解はコーシーの関数方程式の有名事実から $f (x) = c x$ となります．十分性は容易に確かめることができます．
　 $P (x, y)$ と $P (- x, - y)$ を根性で作り出すことが大切だと思います．

演習問題

Iran TST 2008

Find all functions $f : R \to R$ such that for each $x, y \in R$ :
$f (x f (y)) + y + f (x) = f (x + f (y)) + y f (x)$

ヒント❶

f (x)

のとり得る値の範囲を調べましょう．

ヒント❷

与式の書き換えをしましょう．

解答解説

与式への代入を

P (x, y)

と表す．

\begin{matrix} (1) & P (0, y) \Rightarrow 2 f (0) + y = f (f (y)) + y f (0) \Leftrightarrow f (f (y)) = 2 f (0) + (1 - f (0)) y \end{matrix}

case1;

f (0) = 1

P (0, y) \Rightarrow f (f (y)) = 2 f (0) = 2

P (x, 0) \Rightarrow= 2 f (x) = f (x + 1)

f (f (f (y))) = f (2) = 2 f (1) = 4 f (0) = 4 \neq 2 \Rightarrow Contradiction.

case2;

o t h e r w i s e

f

は全射．よって

f (x) = 0

となる実数

x

が存在するので，これを

c

とする．

P (c, c) \Rightarrow f (0) + c = 0 \Leftrightarrow c = - f (0)

P (c, 0) \Rightarrow f (c f (0)) = f (0) \Leftrightarrow f (- c^{2}) = - c

P (c, - c^{2}) \Rightarrow f (c f (- c^{2})) - c^{2} = f (f (- c^{2}) + c) \Leftrightarrow f (- c^{2}) - c^{2} = f (c - c) \Leftrightarrow - c - c^{2} = - c \Leftrightarrow c = 0

よって(1)は

f (f (y)) = y

となり，

f

が全単射であることがわかる．

P (1, f (x)) \Rightarrow 2 f (x) + f (1) = f (x + 1) + f (1) f (x)

P (x, f (1)) \Rightarrow 2 f (x) + f (1) = f (x + 1) + f (x)

2

つ式を比較することで，

f (1) = 1

を得る．よって，

\begin{matrix} (2) & f (x + 1) = f (x) + 1 \Leftrightarrow f (x + n) = f (x) + n^{\forall} n \in Z \Rightarrow f (n) = n^{\forall} n \in Z \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & P (x, f (y)) \Rightarrow f (x y) + f (x) + f (y) = f (x + y) + f (x) f (y) \end{matrix}

(3)式への代入を

Q (x, y)

と表す．

Q (x, - 1) \Rightarrow f (- x) + f (x) + f (- 1) = f (x - 1) + f (- 1) f (x) \Leftrightarrow f (x) = - f (- x) (∵ (2))

Q (- x, - y) \Rightarrow f (x y) - f (x) - f (y) = - f (x + y) + f (x) f (y)

よって，

\begin{array}{r} {\begin{cases} f (x y) = f (x) f (y) \\ f (x + y) = f (x) + f (y) \end{cases} \end{array}

これを満たすのは

f (x) = x

のみである．十分性は容易に確かめられる．
よって求める解は

f (x) = x

IMO Shortlist 2012, Algebra 5

Find all functions $f : R \to R$ that satisfy the conditions
$f (1 + x y) - f (x + y) = f (x) f (y) for all x, y \in R,$
and $f (- 1) \neq 0$ .

解説は後日記述予定です．

投稿日：2022年12月24日

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