方べきの定理の全ての二次曲線への拡張

初めましてつくつくです.
方べきの定理の主張を少し弱めると, 全ての二次曲線に対して適用できるようになることを発見したので, それについて書いていきます.

方べきの定理を拡張する

方べきの定理とは次のような定理でした.

この定理は$\frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS}$の値が(分母が0でないとき)常に$1$になると言い換えることができます. 実はこの比の値が一定であるというのは二次曲線一般について言えて, 次の定理が成り立ちます.

条件が1つ増えましたが, 円の場合と同じようなことが成り立つと分かります. $l$と$m$の傾きはなんでもいいんですが, 今回は簡単のために2直線が直交する場合を考えます.

証明

ベクトルを用いて示します. 以下では$A(p,q)$, 直線$l$の傾きを$k$とします. このとき, 直線$l,m$は$t$をパラメータとして次のように表せます.
$l : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} $$ $$ m: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -k \\ 1 \end{pmatrix} $

楕円の場合

$$ C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 $$
とします. この式に$l$の$x, y$を代入し整理すると,
$$ (a^2k^2+b^2)t^2+2(a^2qk+b^2p)t+(a^2q^2+b^2p^2-a^2b^2)=0 $$
となります. この式の2解を$t=\alpha,\beta$とすると,
$ \overrightarrow{ AP } = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} ,$$ $$ \overrightarrow{ AQ } = \beta \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} $
とできるので, 解と係数の関係より,
$$ AP \cdot AQ = |\alpha\beta|(1+k^2) =\frac{|a^2q^2+b^2p^2-a^2b^2|(k^2+1)}{a^2k^2+b^2} $$
となります.
直線$m$についても同様に計算すると,
$$ AR \cdot AS = |\alpha\beta|(1+k^2) =\frac{|a^2q^2+b^2p^2-a^2b^2|(k^2+1)}{b^2k^2+a^2} $$
となり,
$$ \frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS} =\frac{b^2k^2+a^2}{a^2k^2+b^2} $$
が導かれます. この値は$p,q$の値,すなわち$A$の位置によらず, 直線の傾きと楕円の形状にのみ依存しますね.

ここで$a=b$とすると$C$は円になりますが, このとき
$$ \frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS} =\frac{a^2k^2+a^2}{a^2k^2+a^2} =1 $$
となって, ちゃんと元の方べきの定理の式になります.

双曲線の場合

$$ C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$
とします. 計算の方法は同じなので結果だけ示すと,
$$ \frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS} = \left|\frac{b^2k^2-a^2}{a^2k^2-b^2}\right| $$
になります.
楕円の場合から符号が変わっただけですね. 双曲線の場合も同様に直線の傾きと$C$の形状にのみ依存します.

また, ここでも$a=b$としてみると,
$$ \frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS} = \left|\frac{a^2k^2-a^2}{a^2k^2-a^2}\right| =1 $$
となり, 方べきの定理と全く同じ式が成立します.

放物線の場合

$$ C:y=ax^2 $$
とすると, 結果は次のようになります.
$$ \frac{AP \cdot AQ}{AR \cdot AS} = k^2 $$
すごく綺麗な形になりましたね. 今度は直線の傾きにのみ依存し放物線の形状にすらよらないという一見不思議なことが起こりました.
これには放物線の形状はそもそも一種類しかないという事実が背景にあります. 詳しくは以下の記事を参照してください.

全ての放物線が相似であることの証明
https://manabitimes.jp/math/702

おわりに

方べきの定理のような定理が全ての二次曲線に対して成り立つことを見てきました. この他にも円の定理として有名なもので二次曲線に拡張できる, もしくはそのまま適用できるものが様々あるみたいです. おもしろいですね.

余談ですが, 直線をパラメータで表し, 線分の長さを簡単なベクトルの長さとして求めるという今回用いた手法は, 座標計算を楽にする方法として有用です. 大学入試でも使えることがあるので, 受験生で知らなかった人はぜひ覚えておいてください.

ここまでお読みいただきありがとうございました. また別の記事でお会いしましょう.