円以外の二次曲線に対する方べきの定理の拡張

二次曲線,幾何

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初めましてつくつくです.
方べきの定理の主張を少し弱めると, 全ての二次曲線に対して適用できるようになることを発見したので, それについて書いていきます.

方べきの定理を拡張する

方べきの定理とは次のような定理でした.

方べきの定理

平面上に円 $C$ と点 $A$ があり, 点 $A$ を通る直線 $l$ が $C$ と2点 $P, Q$ で, 点 $A$ を通る直線 $m$ が $C$ と2点 $R, S$ で交わっている時, $A P \cdot A Q = A R \cdot A S$ が成り立つ.

この定理は $\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S}$ の値が(分母が0でないとき)常に $1$ になると言い換えることができます. 実はこの比の値が一定であるというのは二次曲線一般について言えて, 次の定理が成り立ちます.

一般化した方べきの定理

平面上に二次曲線 $C$ と $C$ 上にない点 $A$ があり, 点 $A$ を通る直線 $l$ が $C$ と2点 $P, Q$ で, 点 $A$ を通る直線 $m$ が $C$ と2点 $R, S$ で交わっている時, 直線 $l$ と直線 $m$ の傾きが一定なら $\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S}$ の値は $A$ の位置によらず一定である.

条件が1つ増えましたが, 円の場合と同じようなことが成り立つと分かります. $l$ と $m$ の傾きはなんでもいいんですが, 今回は簡単のために2直線が直交する場合を考えます.

証明

ベクトルを用いて示します. 以下では $A (p, q)$ , 直線 $l$ の傾きを $k$ とします. このとき, 直線 $l, m$ は $t$ をパラメータとして次のように表せます.
$l : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix})$ $m : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - k \\ 1 \end{matrix})$

楕円の場合

$C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
とします. この式に $l$ の $x, y$ を代入し整理すると,
$(a^{2} k^{2} + b^{2}) t^{2} + 2 (a^{2} q k + b^{2} p) t + (a^{2} q^{2} + b^{2} p^{2} - a^{2} b^{2}) = 0$
となります. この式の2解を $t = α, β$ とすると,
$\vec{A P} = α (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix}),$ $\vec{A Q} = β (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix})$
とできるので, 解と係数の関係より,
$A P \cdot A Q = | α β | (1 + k^{2}) = \frac{| a^{2} q^{2} + b^{2} p^{2} - a^{2} b^{2} | (k^{2} + 1)}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$
となります.
直線 $m$ についても同様に計算すると,
$A R \cdot A S = | α β | (1 + k^{2}) = \frac{| a^{2} q^{2} + b^{2} p^{2} - a^{2} b^{2} | (k^{2} + 1)}{b^{2} k^{2} + a^{2}}$
となり,
$\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S} = \frac{b^{2} k^{2} + a^{2}}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$
が導かれます. この値は $p, q$ の値,すなわち $A$ の位置によらず, 直線の傾きと楕円の形状にのみ依存しますね.

ここで $a = b$ とすると $C$ は円になりますが, このとき
$\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S} = \frac{a^{2} k^{2} + a^{2}}{a^{2} k^{2} + a^{2}} = 1$
となって, ちゃんと元の方べきの定理の式になります.

双曲線の場合

$C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
とします. 計算の方法は同じなので結果だけ示すと,
$\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S} = | \frac{b^{2} k^{2} - a^{2}}{a^{2} k^{2} - b^{2}} |$
になります.
楕円の場合から符号が変わっただけですね. 双曲線の場合も同様に直線の傾きと $C$ の形状にのみ依存します.

また, ここでも $a = b$ としてみると,
$\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S} = | \frac{a^{2} k^{2} - a^{2}}{a^{2} k^{2} - a^{2}} | = 1$
となり, 方べきの定理と全く同じ式が成立します.

放物線の場合

$C : y = a x^{2}$
とすると, 結果は次のようになります.
$\frac{A P \cdot A Q}{A R \cdot A S} = k^{2}$
すごく綺麗な形になりましたね. 今度は直線の傾きにのみ依存し放物線の形状にすらよらないという一見不思議なことが起こりました.
これには放物線の形状はそもそも一種類しかないという事実が背景にあります. 詳しくは以下の記事を参照してください.