4つの円に囲まれたラグビーボールのような図形の面積

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問題(数Ⅲ、数Cの範囲で解けます。)

円に囲まれた図形

半径 $R_{1}$ で中心が $y$ 軸上にあり、点 $(0, \frac{H}{2})$ を通る円を円 $C_{1}$ 、円 $C_{1}$ とは $x$ 軸に対して線対称な円を円 $C_{3}$
半径 $R_{2}$ で中心が $x$ 軸上にあり、点 $(\frac{W}{2}, 0)$ を通る円を円 $C_{2}$ 、円 $C_{2}$ とは $y$ 軸に対して線対称な円を円 $C_{4}$ とする。
円 $C_{2} 、 C_{4}$ は、円 $C_{1}$ と1点で交わり、円 $C_{3}$ とも1点で交わる。
このとき、次の問いに答えよ。
ただし、 $0 < 2 R_{2} < H < W < 2 R_{1}$ とする。

１．円 $C_{1}, C_{2}$ を式で表せ。

２．円 $C_{1}, C_{2}$ の交点の一つを点 $(x_{0}, y_{0}) (x_{0}, y_{0} > 0)$ とするとき、 $x_{0}, y_{0}$ をそれぞれ $R_{1}, R_{2}, H, W$ で表せ。

３．円 $C_{1}, C_{2}$ の中心をそれぞれ点 $C_{1}, C_{2}$ とし、 $∠ O C_{1} C_{2} = θ_{0} (0 \leq θ_{0} \leq \frac{π}{2})$ とするとき、円 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ で囲まれた図形（図1斜線部）の面積 $S$ を $θ_{0}, R_{1}, R_{2}, H, W$ で表せ。

４． $R_{2}$ を $R_{1}, H, W$ で表せ。

５．次の問いに答えよ。
(a) $lim_{R_{1} \to \infty} R_{2}$ を求めよ。
(b) $\sin θ_{0}, \tan θ_{0}, lim_{R_{1} \to \infty} θ_{0}$ をそれぞれ $R_{1}, R_{2}, H, W$ で表せ。
(c) $\sin θ_{0} < θ_{0} < \tan θ_{0}$ を利用して $lim_{R_{1} \to \infty} S$ を $H, W$ で表せ。

模範解答

１．円 $C_{1}, C_{2}$ を式で表せ。

解
円 $C_{1}$
中心を $(0, - y_{1}) (y_{1} > 0)$ とすると
$C_{1} : x^{2} + (y + y_{1})^{2} = R_{1}^{2}$
$(0, \frac{H}{2})$ を通るので
$0^{2} + (\frac{H}{2} + y_{1})^{2} = R_{1}^{2}$
$(\frac{H}{2} + y_{1} + R_{1}) (\frac{H}{2} + y_{1} - R_{1}) = 0$
$y_{1} = R_{1} - \frac{H}{2} (∵ \frac{H}{2} + y_{1} + R_{1} > 0)$
$C_{1} : x^{2} + (y + R_{1} - \frac{H}{2})^{2} = R_{1}^{2}$

円 $C_{2}$
中心が $x$ 軸上、半径 $R_{2}$ 。
点 $(\frac{W}{2}, 0)$ を通るので、中心 $(\frac{W}{2} - R_{2}, 0)$ 。
$C_{2} : {x - (\frac{W}{2} - R_{2})}^{2} + y^{2} = R_{2}^{2}$
$C_{2} : (x - \frac{W}{2} + R_{2})^{2} + y^{2} = R_{2}^{2}$

２．円 $C_{1}, C_{2}$ の交点の1つを点 $(x_{0}, y_{0}) (x_{0}, y_{0} > 0)$ とするとき、 $x_{0}, y_{0}$ をそれぞれ $R_{1}, R_{2}, H, W$ で表せ。

解
点!FORMULA[71][-1346103092][0] 点 $(x_{0}, y_{0})$

円 $C_{1}, C_{2}$ は1点で交わるので、半径が同一線上にある。（図2）
原点 $O$ , 点 $(0, - R + \frac{H}{2})$ , 点 $(\frac{W}{2} - R_{2}, 0)$ を頂点とする直角三角形と
点 $(x_{0}, 0)$ , 点 $(x_{0}, y_{0})$ , 点 $(\frac{W}{2} - R_{2}, 0)$ を頂点とする直角三角形は相似なので
$R_{2} : (R_{1} - R_{2}) = {x_{0} - (\frac{W}{2} - R_{2})} : (\frac{W}{2} - R_{2}) = y_{0} : (R_{1} - \frac{H}{2})$

$R_{2} : (R_{1} - R_{2}) = {x_{0} - (\frac{W}{2} - R_{2})} : (\frac{W}{2} - R_{2})$
$(R_{1} - R_{2}) x_{0} - (R_{1} - R_{2}) (\frac{W}{2} - R_{2}) = R_{2} (\frac{W}{2} - R_{2})$
$(R_{1} - R_{2}) x_{0} = R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})$
$x_{0} = \frac{R_{1}}{R_{1} - R_{2}} (\frac{W}{2} - R_{2}) (R_{1} - R_{2} > 0)$

$R_{2} : (R_{1} - R_{2}) = y_{0} : (R_{1} - \frac{H}{2})$
$y_{0} = \frac{R_{2}}{R_{1} - R_{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})$

解
（図2）より
$\frac{S}{4} = (中心 C_{1} 半径 R_{1} の扇形) - (△ O C_{1} C_{2}) + (中心 C_{2} 半径 R_{2} の扇形)$

$= \frac{θ_{0}}{2} R_{1}^{2} - \frac{1}{2} (R_{1} - \frac{H}{2}) (\frac{W}{2} - R_{2}) + \frac{1}{2} (\frac{π}{2} - θ_{0}) R_{2}^{2}$

$= \frac{θ_{0}}{2} R_{1}^{2} - \frac{1}{2} R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) + \frac{H}{4} (\frac{W}{2} - R_{2}) + (\frac{π}{4} - \frac{θ_{0}}{2}) R_{2}^{2}$

$S = 2 θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) + H (\frac{W}{2} - R_{2}) + (π - 2 θ_{0}) R_{2}^{2}$

４． $R_{2}$ を $R_{1}, H, W$ で表せ。
$C_{1} : x^{2} + (y + R_{1} - \frac{H}{2})^{2} = R_{1}^{2}$ は $(x_{0}, y_{0})$ を通るので
$x_{0}^{2} + (y_{0} + R_{1} - \frac{H}{2})^{2} = R_{1}^{2}$
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 y_{0} (R_{1} - \frac{H}{2}) + (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} = R_{1}^{2}$

$\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + \frac{R_{2}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} + \frac{2 R_{2}}{R_{1} - R_{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} + (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} = R_{1}^{2}$

$\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + \frac{R_{2}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} + \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} - R_{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} - R_{1}^{2} = 0$

$\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + \frac{R_{2}^{2} + R_{1}^{2} - R_{2}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} - R_{1}^{2} = 0$

$\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + \frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} - R_{1}^{2} = 0$

$(\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + (R_{1} - \frac{H}{2})^{2} - (R_{1} - R_{2})^{2} = 0 (\frac{R_{1}^{2}}{(R_{1} - R_{2})^{2}} > 0)$

$(\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + {(R_{1} - \frac{H}{2}) + (R_{1} - R_{2})} {(R_{1} - \frac{H}{2}) - (R_{1} - R_{2})} = 0$

$(\frac{W}{2} - R_{2})^{2} + (2 R_{1} - R_{2} - \frac{H}{2}) (R_{2} - \frac{H}{2}) = 0$

$(\frac{W}{2})^{2} - W R_{2} + R_{2}^{2} + 2 R_{1} (R_{2} - \frac{H}{2}) - R_{2}^{2} + (\frac{H}{2})^{2} = 0$

$(\frac{W}{2})^{2} - W R_{2} + 2 R_{1} R_{2} - H R_{1} + (\frac{H}{2})^{2} = 0$

$(2 R_{1} - W) R_{2} = H R_{1} - (\frac{H}{2})^{2} - (\frac{W}{2})^{2}$

$R_{2} = \frac{H R_{1} - (\frac{H}{2})^{2} - (\frac{W}{2})^{2}}{2 R_{1} - W} (2 R_{1} - W > 0)$

$= \frac{4 H R_{1} - H^{2} - W^{2}}{8 R_{1} - 4 W}$

５．次の問いに答えよ。
(a) $lim_{R_{1} \to \infty} R_{2}$ を求めよ。

解
$lim_{R_{1} \to \infty} R_{2} = lim_{R_{1} \to \infty} \frac{4 H R_{1} - H^{2} - W^{2}}{8 R_{1} - 4 W}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} \frac{4 H - \frac{H^{2}}{R_{1}} - \frac{W^{2}}{R_{1}}}{8 - \frac{4 W}{R_{1}}}$
$= \frac{4 H}{8}$
$= \frac{H}{2}$

(b) $\sin θ_{0}, \tan θ_{0}, lim_{R_{1} \to \infty} θ_{0}$ をそれぞれ $R_{1}, R_{2}, H, W$ で表せ。

解
（図2）から
$\sin θ_{0} = \frac{1}{R_{1} - R_{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})$
$\tan θ_{0} = \frac{\frac{W}{2} - R_{2}}{R_{1} - \frac{H}{2}} = \frac{1}{R_{1} - \frac{H}{2}} (\frac{W}{2} - R_{2})$

$lim_{R_{1} \to \infty} \sin θ_{0}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} \frac{1}{R_{1} - R_{2}} (\frac{W}{2} - R_{2}) = 0$
$lim_{R_{1} \to \infty} θ_{0} = 0 (0 \leq θ_{0} \leq \frac{π}{2})$

$S = 2 θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) + (π - 2 θ_{0}) R_{2}^{2} + H (\frac{W}{2} - R_{2})$

$2 \sin θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})$
$< 2 θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})$
$< 2 \tan θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})$

$lim_{R_{1} \to \infty} {2 \sin θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} {2 \frac{1}{R_{1} - R_{2}} (\frac{W}{2} - R_{2}) R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) (\frac{R_{1}}{R_{1} - R_{2}} - 1)$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{R_{2}}{R_{1} - R_{2}}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} - R_{2}}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{R_{2}}{1 - \frac{R_{2}}{R_{1}}}$
$= 2 (\frac{W}{2} - \frac{H}{2}) \frac{H}{2}$
$= H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2})$

$lim_{R_{1} \to \infty} {2 \tan θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} {2 \frac{1}{R_{1} - \frac{H}{2}} (\frac{W}{2} - R_{2}) R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) (\frac{R_{1}}{R_{1} - \frac{H}{2}} - 1)$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{\frac{H}{2}}{R_{1} - \frac{H}{2}}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{\frac{H}{2} R_{1}}{R_{1} - \frac{H}{2}}$
$= lim_{R_{1} \to \infty} 2 (\frac{W}{2} - R_{2}) \frac{\frac{H}{2}}{1 - \frac{H}{2 R_{1}}}$
$= 2 (\frac{W}{2} - \frac{H}{2}) \frac{H}{2}$
$= H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2})$

はさみうちの原理より
$lim_{R_{1} \to \infty} {2 θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2})} = H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2})$

$lim_{R_{1} \to \infty} S$
$= lim_{R_{1} \to \infty} {2 θ_{0} R_{1}^{2} - 2 R_{1} (\frac{W}{2} - R_{2}) + (π - 2 θ_{0}) R_{2}^{2} + H (\frac{W}{2} - R_{2})}$
$= H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2}) + π (\frac{H}{2})^{2} + H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2})$
$= \frac{π}{4} H^{2} + 2 H (\frac{W}{2} - \frac{H}{2})$
$= \frac{π}{4} H^{2} + H W - H^{2}$