自己紹介（と好きな問題の紹介）をしたい

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　はじめまして，nonon（ののん）です．高校3年生（投稿日時点）です．受験が終わったので初投稿をします．
　と思ったのですが何を書けばいいか分かりません．みなさんのように新規性のある発見をしているわけでも、学びの多い問題を作っているわけでもありません．高校の3年間でしたこといえば（数学に限れば）基本的に受験数学，ときどき競技数学や大学に数学に少し手を伸ばしていたくらいです．それでも何か書いてみたいのです．でも今更高校生活を嘆いても仕方がない，ということで身の丈に合った記事として受験数学の問題を紹介しようと思います．
　最後までお付き合いいただければ幸いです．

問題紹介(問題1)

出典は東京工業大学第1類特別入試(2009)です．

漸化式 $c_{n + 1} = 8 c_{n} - 7 (n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ を考える．数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ に素数がただ $1$ つだけ現れるような正の整数 $c_{1}$ を $2$ つ求めよ．

解答例(問題1)

まず自明解として $c_{1} = 7$ が見つかります
（実際に $c_{1}$ は素数であり，以降は常に $7$ の倍数であることが確かめられます．）
次に $2$ つ目の解を考えましょう．
まずは与漸化式を変形します．
$c_{n + 1} - 1 = 8 (c_{n} - 1)$
です．
これによりこの数列の一般項は
$c_{n} = 8^{n - 1} (c_{1} - 1) + 1$
であることが分かります．
ここで $8 = 2^{3}, 1 = 1^{3}$ と考えると $c_{1} - 1 = m^{3}$ となるように $c_{1}$ を定めることで
$c_{n} = (2^{n - 1} \cdot m)^{3} + 1^{3} = (2^{n - 1} \cdot m + 1) (4^{n - 1} \cdot m^{2} - 2^{n - 1} \cdot m + 1)$
と因数分解できます．
$m \geq 1, n \geq 2$ であれば $2^{n - 1} \cdot m + 1, 4^{n - 1} \cdot m^{2} - 2^{n - 1} \cdot m + 1$ は共に $2$ 以上であるので $n \geq 2$ のとき $c_{n}$ は合成数です．
これにより $m^{3} + 1$ が素数となるような $m$ を考えればよく $c_{1} = 2$ が適します．

問題紹介(問題2)

出典は東北大学理学部数学科AOⅡ期(2020)です．

$(1)$ 自然数 $n$ と実数 $x (0 < x < π)$ に対して，次を示せ．
$\sum_{k = 1}^{n} \cos (k x) = \frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cos \frac{(n + 1) x}{2}$ 　
$(2)$ 自然数 $n$ と実数 $x (0 < x < π)$ に対して，次を示せ．
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin (k x)}{k} > 0$

解答例(問題2)

$(1)$ 与式の辺々に $\sin \frac{x}{2}$ をかけた
$\sum_{k = 1}^{n} \sin \frac{x}{2} \cos (k x) = \sin \frac{n x}{2} \cos \frac{(n + 1) x}{2}$
について考えます．
積和・積和の公式を使うことで
$2 \sum_{k = 1}^{n} \sin \frac{x}{2} \cos (k x) = \sum_{k = 1}^{n} (\sin ((k + \frac{1}{2}) x) - \sin ((k - \frac{1}{2}) x)) = \sin ((n + \frac{1}{2}) x) - \sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{n x}{2} \cos \frac{(n + 1) x}{2}$
となるので示されました．
$(2)$ $a$ を $0 < a < π$ なる実数， $f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin (k x)}{k}$ とします．
今， $f_{n}^{'} (a) = 0$ を満たすすべての $a$ について $f_{n} (a) > 0$ であればすべての $0 < x < π$ について $f_{n} (x) > 0$ が示せるのでこれを数学的帰納法により示します．

$n = 1$ のとき
$f_{1} (x) = \sin x$ なのでこれは $0 < x < π$ で正です．
$n = m (m = 1, 2, \dots)$ のとき
$f_{m} (x) > 0$ を仮定します．
また， $f_{m + 1}^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{m + 1} \cos ((m + 1) x)$ なので $f_{m + 1}^{'} (a) = 0$ となるとき $\sin \frac{(m + 1) a}{2} = 0$ または $\cos \frac{(m + 2) a}{2} = 0$ です．
(イ) $\sin \frac{(m + 1) a}{2} = 0$ のとき
$\sin (m + 1) a = 2 \sin \frac{(m + 1) a}{2} \cos \frac{(m + 1) a}{2} = 0$ となるので $f_{m + 1} (a) = f_{m} (a) > 0$ が分かります．
(ロ) $\cos \frac{(m + 2) a}{2} = 0$ のとき
$$\begin{aligned}
\sin((m+1)a) & = \sin\Big\lbrace\dfrac{(m+2)a}{2}+\dfrac{ma}{2}\Big\rbrace\
& = \sin\dfrac{(m+2)a}{2}\cos\dfrac{ma}{2}+\cos\dfrac{(m+2)a}{2}\sin\dfrac{ma}{2}\
& = \sin\dfrac{(m+2)a}{2}\cos\dfrac{ma}{2}-\cos\dfrac{(m+2)a}{2}\sin\dfrac{ma}{2}\
& = \sin\Big\lbrace\dfrac{(m+2)a}{2}-\dfrac{ma}{2}\Big\rbrace\
& = \sin{a}
\end{aligned}$$
なのでこのとき $f_{m + 1} (a) = f_{m} (a) + \frac{\sin ((m + 1) a)}{m + 1} = f_{m} (a) + \frac{\sin a}{m + 1} > 0$ となります．

以上より $f_{m + 1}^{'} (a) = 0$ のとき $f_{m} (a) > 0$ が示せました．これにより $\sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin (k x)}{k} > 0$ が言えます．

おわりに

　最後までお読みいただきありがとうございます．私自身記事を書くのが初めてなので分かりにくい部分やミス等あれば教えてください．
　今回は題材として扱われることの少ない(私のイメージです)推薦入試の問題から2問紹介しました．推薦入試にはほかにも面白い問題がたくさんあるので少しずつ紹介出来るように頑張ります。

投稿日：2022年12月28日