自作問題(2)

$$a=1, b=0, c=-1, e=-1, i={\displaystyle \frac{1}{\pi }}, n=0, o={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}, r=\sqrt{3}, s=2, t=5^{{2022}^{2022}}$$
$z=\pi , \alpha$は$cos\alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}, sin\alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$を満たす数, $\beta =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}, \theta ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$とする．
$(1) sin(\pi -\theta )=sin\theta$を示せ．
$(2) cos(\pi -\theta )=cos\theta$を示せ．
$(3) cos(t+2\pi n)=cost$を示せ．
$(4) si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$を示せ．
$(5) tan\theta ={\displaystyle \frac{sin\theta }{cos\theta }}$を示せ．
$(6) 1+ta{n}^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{co{s}^2\theta }}$を示せ．
$(7) asin\theta +bcos\theta =\sqrt{a^2+b^2}sin\alpha$を示せ．
$(8) c^2=a^2+b^2-2abcos\theta$を示せ．
$(9) sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$を示せ．
$(10) tan(\alpha \pm \beta )={\displaystyle \frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha tan\beta }}$
$(11) cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$を示せ．
$(12) rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$を示せ．
$(13) e^{iz}=cosz+isinz$を示せ．
$(14) e^{i\pi }$の値を求めよ．
$(15) {\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{sinx}{x}}}$を求めよ．
$(16) tan{\displaystyle \frac{\pi }{180}}$は有理数か．
$(17) tanA,tanB,tanC$はすべて整数である．それらの値を求めよ．

${\pi }^5$は整数か．

$2^{82589933}-1$の下$n$桁を求めよ．あなたが求めた桁のうち正しい一の位からの桁数をあなたの得点とする．

$2^{82589933}-1$は何桁か．

$2023$以下の正整数$n$のうち，正の約数和が$n$となる正整数の個数が最も多くなる$n$をすべて求めよ．

$4\times 4$の正方形のマス目を$1\times 2$のタイルで埋め尽くす敷き方は何通りか．

1/1は何曜日だったか．

$\varphi (n)\mid n$を満たす正整数$n$の必要十分条件を求めよ．

$\varphi (n)\mid n-1$を満たす正整数$n$の必要十分条件を求めよ．

$or{d}_p(q!)=\lfloor lo{g}_{p}q\rfloor$を満たす異なる素数の組$(p,q)$をすべて求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p-1}n!\equiv 0(modp)}$を満たす素数$p$をすべて求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}n!\equiv 0(modp)}$を満たす素数$p$をすべて求めよ．

一辺の長さが$1$の正五角形の面積を$2$等分する線分のうち最短のものの長さを求めよ．

$p^q-q^p=2023$を満たす素数の組$(p,q)$をすべて求めよ．

$m^m-n^n=2023$を満たす正整数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

$or{d}_y(6x+y)=x$を満たす正整数$x$と素数$y$の組を求めよ．

$1000$以下の半素数は$250$個以上であることを示せ．

$100$桁の正整数で各桁の積が$2$となるもののうち，$2023$で割り切れるものの個数を求めよ．

$2^{82589933}(2^{82589933}-1)$の下$n$桁を求めよ．あなたが求めた桁のうち正しい一の位からの桁数をあなたの得点とする．

$2^{82589933}(2^{82589933}-1)$は何桁か．

$6\uparrow \uparrow 6$を$2023$で割ったあまりを求めよ．

$3\to 3\to 3\to 3$を$2023$で割ったあまりを求めよ．

$n$を$2$以上の$6$乗数でない整数とする．$\sqrt{n}+\sqrt[3]{n}$は無理数であることを示せ．

$a^{2p}=b^p+p^c$を満たす正整数$(a,b,c)$と素数$p$の組で，$a$が奇数であるものをすべて求めよ．

$a-b-8b-c-8$が偶素数となる素数の組$(a,b,c)$は有限か．

$(a-b-8)(b-c-8)$が素数となる素数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

$(13\mathrm{\#}{)}^{10}$を求めよ．

$17492497$以上の整数$(m,n)$は$m^3+{17492496}^3=n^3+{18289922}^3$を満たす．$m,n$を求めよ．

$100$以下の$n$のうち，${\displaystyle \frac{n＃}{3}}+1$が$3$で割り切れるものをすべて求めよ．

正整数$n$で，${}^{n}n+1$が$3$で割り切れるものをすべて求めよ．

直角三角形の$3$辺の長さがすべて整数のとき，周長は偶数であることを示せ．

$n$を自然数とする．$n^2+2,n^4+2,n^6+2$の最小公倍数$B_n$を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．${\varphi }^n-{\overline{\varphi }}^n$が素数ならば$n$も素数であることを示せ．

$p$が素数ならば$p^4-14$は平方数でないことを示せ．

$100$桁の自然数で，$2$と$5$の素因数を持たないものの個数を求めよ．

$0.301<{\log }_{10}2<0.3011$を示せ．ただし$5.4<{\log }_{4}2022<5.5$は用いてよい．

素数$p,q$を用いて${\displaystyle \frac{(p+1{)}^q-p^q-1}{p}}$と表される素数をすべて求めよ．

$p$を素数，$n$を正整数とするとき$(p^n)!!$は$p$で何回割り切れるか．

$m^n+1, n^l+1, l^m+1$がすべて$10$の倍数となる自然数$m,n,l(m<n<l)$を一組与えよ．

各桁の和が偶数となる$2023$桁以下の正整数はいくつあるか．

$A_1=1, A_{n+1}=A_n+[\sqrt{A_n}] (n\ge 1)$のとき，$\lfloor \sqrt{A_{2023}}\rfloor$を求めよ．

$A_1=1, A_2=3, A_{n+2}=A_{n+1}{A}_n$のとき，$A_{2023}$を$4$で割ったあまりを求めよ．

$2$以上の整数$n$で${\displaystyle \frac{2^n+1}{{}^{2}n}}$が整数となるものをすべて求めよ．

$2$以上の整数$n$で${\displaystyle \frac{{}^{n}2+1}{n^2}}$が整数となるものをすべて求めよ．

$2$以上の整数$n$で${\displaystyle \frac{{}^{n}2+1}{{}^{2}n}}$が整数となるものをすべて求めよ．