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365題補足

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数学問題365題!!の記事に登場した用語、記号について補足していきます

大晦日

 12/31のこと.またグレゴリオ暦で考えることとします

テトレーション${}^nx$

 正整数$n$に対して${}^nx$を以下で定めます
$$ {}^1x=x, {}^{n+1}x=x^{{}^nx}$$

正整数全体の集合

 $\mathbb{Z_{++}}$で表します

球欠 球冠

 球が平面によって切り取られたとき,その曲面(球の表面だったとこ)を「球冠」,その立体を「球欠」と言い,平面(球欠の表面だけど球冠じゃないとこ)を下にしたときの高さを「球欠の高さ」と言います

トーシェント関数$\phi(n)$

 $n$と互いに素な$n$以下の正整数の個数を$\phi(n)$で表します

二重階乗$n!!$

 正整数$n$に対して$n!!$を以下で定めます!!
$$ 1!!=1, 2!!=2, n!!=n\times(n-2)!!$$

累乗数

 ある正整数$a$$2$以上の整数$m$を用いて$a^m$と表すことのできる数です

(月の数字)(日の数字)

 10/2の場合は102となります.日付が一桁の場合,前に0をつける必要は無いです

楕円,楕円体

 楕円体とは楕円を$3$次元に拡張した形で,方程式は$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$です
 また楕円は$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ですが,楕円も楕円体もここでは$a\not=b\not=c$とします.

回転放物面

 放物線を軸に関して一周させた形で,方程式は$z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}$です

立体

 ここでは2/15,16以外の問題は中が空洞であると考えます(特に最多分割問題で)

a|b

 $a$$b$の約数であるとき$a|b$と表します.

約数関数σ(n)

 $n$の約数の総和を$\sigma(n)$で表します.
 また$\sigma ^2(n)=\sigma(\sigma(n))$です

円錐台

 円錐を底面に平行な平面で分割し,もとの円錐の底面が含まれていた方を円錐台と呼びます.

リュカ数

$$ A_1=2, A_2=1, A_{n+2}=A_{n+1}+A_n (n\geq1)$$
の漸化式に出てくる数です

オーダー$ord(n)$

 整数$n(\not=0),d$と素数$p$において,$n$$p^d$の倍数だが$p^{d+1}$の倍数でないとき,$ord_p(n)=d$と表します.

矢印表記、チェーン表記$\uparrow\rightarrow$

 $a\uparrow ^nb$は以下で定義されます
$$ a\uparrow ^1b=a^b, a\uparrow ^n1=a$$
$$ a\uparrow ^{n+1}(b+1)=a\uparrow ^n(a\uparrow ^{n+1}b)=\underbrace{a\uparrow ^na\uparrow ^n\cdots\uparrow ^na}_{n個のa}$$
また$a\uparrow ^nb=\overbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}^{c個}b$です
 $a\rightarrow ^nb$は以下で定義されます
$$ a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow ^cb$$
$$ a\rightarrow\cdots\rightarrow b\rightarrow 1\rightarrow\cdots=a\rightarrow\cdots\rightarrow b$$
$$a\rightarrow\cdots\rightarrow b\rightarrow (c+1)\rightarrow(d+1)=a\rightarrow\cdots\rightarrow b\rightarrow(a\rightarrow\cdots\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow (d+1))\rightarrow d$$
どちらも右から計算します

素数階乗#

 $n\#$$n$以下の素数の積を表します

投稿日:20221231

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ぴー
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