弱い形のスターリングの公式の別証明を思いついたので書きます。
ある正の実数
が成り立つことを証明せよ。
階乗を上下から近似することによって証明します。
階乗を上から抑える
として上から抑えられます。今後の議論のために、もう少し精密に評価します。そのために、この緑の三角形たちの面積の総和を求めます。
階乗を上から抑える(2)
整数
なので、望遠鏡和の原理により、緑の三角形たちの面積の総和は
となります。そのため、
すなわち
となります。
階乗を下から抑える
として下から抑えられます。また、
階乗を下から抑える(2)
整数
で与えられます。この合計を下から抑えます。
とすると、
そのため、
がわかります。一番下の式を
微分により、
このとき、
なので、
すなわち
となります。
上下それぞれからの評価の式の指数を取る(
がわかります。よって、
正確には