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弱いスターリングの公式の証明

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弱い形のスターリングの公式の別証明を思いついたので書きます。

問題

ある正の実数ABが存在し、十分大きいnに対して
A<n!nn+12en<B
が成り立つことを証明せよ。

階乗を上下から近似することによって証明します。

上限

階乗を上から抑える 階乗を上から抑える

log(n!)=log1+log2++log(n1)+logn<1nlogxdx+logn=nlognn+1+logn=(n+1)logn+(n+1)

として上から抑えられます。今後の議論のために、もう少し精密に評価します。そのために、この緑の三角形たちの面積の総和を求めます。

階乗を上から抑える(2) 階乗を上から抑える(2)

整数k1に対し、kx<k+1の部分の面積は

121(log(k+1)logk)

なので、望遠鏡和の原理により、緑の三角形たちの面積の総和は

121(lognlog1)=12logn

となります。そのため、

log(n!)+12logn<(n+1)logn+(n+1)

すなわち

log(n!)<(n+12)logn+(n+1)

となります。

下限

階乗を下から抑える 階乗を下から抑える

log(n!)=log1+log2++logn>1nlogxdx=nlognn+1=nlogn+(n+1)

として下から抑えられます。また、

階乗を下から抑える(2) 階乗を下から抑える(2)

整数k1に対し、kx<k+1の部分の面積は

12log(k+1)logk1/k(log(k+1)logk)=12k(log(k+1)logk)2

で与えられます。この合計を下から抑えます。

a>0を定数とし、

g(x)=logk+x(logk+1kx1ak2x2)

とすると、a<2のときg(0)=g(0)=0,g(0)<0より任意のxg(x)>0であり、a=2のときg(0)=g(0)=g(0)=0,g(0)>0より任意のxg(x)>0であることがわかります。

そのため、a=1とおくことで

12k(log(k+1)logk)2>12k(1k1k2)2>12(1k2k2+1k3)>12(1k2k2)>12k1k2

がわかります。一番下の式をS(k)とおきます。

微分により、k>4S(k)が単調減少であることがわかるので、n>4とし、k=1,2,3のときのS(k)の総和をDと置きます。Dは定数です。

このとき、

()>k=1n1S(k)=D+k=4n1S(k)>D;k=4nS(k)=D+12logn12log4+1n14>12logn+1n1.5>12logn1.5

なので、

log(n!)(12logn1.5)>nlogn+(n+1)

すなわち

log(n!)>(n+12)logn+(n0.5)

となります。

結論

上下それぞれからの評価の式の指数を取る(λx.exを適用することです。「対数を取る」に比べて頻度の低い言い方ですが、用例は存在します)ことで、

n!<nn+12ene

n!>nn+12ene0.5

がわかります。よって、A=e0.5,B=eとおくことで、題意が示せました。

補遺

正確にはABの値は2πにいくらでも近づけられるようです。

投稿日:202317
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nayuta_ito
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