JMO2023予選の振りかえり

JMO2023予選を受けてきたので振り返りをしたいと思います。

1番
文字で置いたら解けなくて一瞬焦りました()
小さい方から調べていけばいいです。

2番
最初は2がm個で3がn個の時…と場合分けをしていましたが途中で1999までは対称性から良い数も悪い数も同数あることに気づきました。
2000から2023だけ調べれば良いです。

3番
図が下手すぎる…
angle-chaseすると相似がたくさん見つかります。

4番
実際に計算していくと分子は100のままで分母が100nずつ増えていくことがわかります。

5番
実験すると公差0で最小公倍数の時は最適解の一つっぽいことがわかりますが、証明がよくわからなかったので答えだけ書いて飛ばしました。(結局合ってた)

〜ここまで25分くらい〜

6番
長方形の中心を原点にして上の辺と六角形の接点を座標でおいてゴリ押しました。
30分くらい計算して上手くいかなさそうだったので一旦飛ばして開始2時間後くらいに計算をやり直したらうまくいきました。
ここに1時間溶かしたのは辛い。

7番
6番が解けなくて少し焦ってたんですがab-1とb、ac-1とcが互いに素なことに気付けば簡単ですね。

8番
まず0と2は同一視できるので0と1だけ記入することを考えます。
最大値のいい求め方が思いつかなかったので一旦飛ばしました。
よく考えると二部グラフの問題で、奇数長閉路があるとダメなのでそれを潰す必要があって、長さ5の閉路は6つあるので上界は20-6/2=17と分かります。あとは2を使う場合も考慮して数え上げればいいです。

9番
見た感じ得意っぽい問題だったので安心。
$p_1=|p_1-0|$,$p_{2023}=|p_{2023}-0|$とみなせば0から出発して0に戻ってくる移動の仕方で道のりが4048になるもの、と言い換えられます。
2023まで一直線で行って帰ってくれば4046になるのでどこかで1(×2)だけ寄り道していることがわかります。どこからどこへ寄り道するかを決めて、残り2020地点は2023より前に訪れるか後ろに訪れるか決めれば移動の仕方は一意に定まるので$2×2021×2^{2020}$通りです。

10番
全然わからなかったです。三角形AMPを回転させてCMにくっつければA,A’,B,Cが共円になるのには気付けたけどそこから考察が全然進みませんでした。しかし、78°($=\frac{41+115}{2}$)っぽかったのでそう書いたら当たりました。ラッキー！

11番
実感したけどほとんど何もわからず…$2^n-1$の形になりそうなことは分かったんですが、指数部分が合いませんでした。

12番
少し見て無理そうだったので見直しすることにしました。不可能枠だと思ったら可能枠らしくて残念。少しは考察を進めたかった。

多分1から10の10完です。
これは事前に決めていたことですが、30分くらい見直しに時間を回せたのでケアレスミスがなくて結構いい結果を出せたんじゃないかと思います。
ただ11,12は得意分野だったので手も足も出なかったのは少し悔しいです。
試験終わった直後はボーダーは6寄りの5〜6だと思っていたんですが周りの話を聞くと7寄りの6〜7に感じます。
簡単枠:1〜5、通るか落ちるかの境目枠:6〜9、難問枠:10〜12だと思います。
拙い文章ですが最後まで読んでいただきありがとうございました。