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数学オリンピック2023予選解説 1~8編 (JMO2023)

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はじめに

2023/1/9に実施された数学オリンピックの1~8の解説をしたいと思います.受験された方はお疲れ様でした。数学オリンピック楽しいよー!ということを布教すべく解説記事を書いてみます.それではよろしくお願いします.

本記事の回答が必ずしも最短,正攻法であるとは限りません.

解説

JMO2023-1

10を足しても10をかけても平方数となる最小の正の整数を求めよ.

ポイント:落ち着いて立式する

求める正の整数をnとおきます.まず,10をかけても平方数となることからn10の倍数です.従って,n=10n2と置くことができます.10n2+10が平方数となるような最小のnを求めれば良いことになります.小さい数から順に調べていくとn=3を得ます.従って,n=1032=90となります.

答:90

JMO2023-2

2の方が3より多く各桁に現れるような正の整数を"良い数"と呼び,3の方が2より多く各桁に現れるような正の整数を"悪い数"と呼ぶ.たとえば,2023には22回,31回現れるので,2023は"良い数"であり,123には21回,31回現れるので,123は"良い数"でも"悪い数"でもない.2023以下の"良い数"の個数と"悪い数"の個数の差を求めよ.

ポイント:求める数が差であることに着目する

"良い数"と"悪い数"の個数をそれぞれ求めてその差を計算しても良いですが,もう少し賢く解くことができます.一桁の"良い数"と"悪い数"の個数は対称的なので等しいです.同様に二桁,三桁,千番台の四桁の"良い数"と"悪い数"の個数は対称的なので等しいです.従って,2000 ~ 2023までを調べれば十分であることがわかります.全て書き出すと,22個となります.

答:22

JMO2023-3

一辺の長さが3である正三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点D,E,Fがあり,BD=1,ADE=DEF=60°をみたしている.このとき,線分AFの長さを求めよ.

ポイント:相似を発見する

最終的にAFの長さを求めたいのでそれを含むAFPに注目します.簡単な角度計算によりAFPDECであるとわかります.従って,AF:AP=DE:DCを得ます.PDEが正三角形なのでその一辺の長さをxとおけばAF:ADx=x:2 となります.さらに,余弦定理よりAD=7なのでAF:7x=x:2となります.よって,xを求めれば良いことになります.ここで,ADCAED であるのでAC:DC=AD:ED3:2=7:xを得ます.よって,x=273となります.以上より,AF=79を得ます.

答:79

JMO2023-3 JMO2023-3

JMO2023-4

正の実数x,yに対し,正の実数xyxy=xxy+1 で定める.この時,

((((((10099)98)97))3)2)1

を計算せよ.ただし解答はを用いずに数値で答えること.

ポイント:うまく計算できるようになっているのだろうと考える

f(n,a)=((((((n(n1))(n2))(n3)))(a+1))aとおきます.(求める数はf(100,1))

まともに,100回計算するのは流石にきついですね.どうにかうまいこと計算できるようになっているはずなので問題文の1002,3,4程度の小さな数に変更して実験してみます.

n=2の場合
21=23

n=3の場合
(32)1=371=310
n=4の場合
((43)2)1=(4132)1=4211=425

これらの実験からf(n,a)=11n+a+(a+1)+(a+2)++(n1)と予想が立ちます.これを示します.

f(n,a+1)=11n+(a+1)+(a+2)+(a+3)++(n1)と仮定します.(これはa=nの時正しい.)
f(n,a)=f(n,a+1)a=11n+(a+1)+(a+2)+(a+3)++(n1)a11n+(a+1)+(a+2)+(a+3)++(n1)+1=11n+a+(a+1)+(a+2)+(a+3)++(n1)となるので帰納法より示されました.よって,答えは100495001となります.

答:100495001

エレガントな別解

エレガントな別解があるので紹介します.
(xy)z=xxy+1z=xxz+xy+1=x(y+z) であるので与式は100(1+2+3++99)=100495001となります.

答:100495001

JMO2023-5

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7を相異なる正の整数とする.数列a1,2a2,3a3,4a4,5a5,6a6,7a7が等差数列であるとき,|a7a1|の最小値を求めよ.

ポイント:公差をdとおく

公差をdとおくと,kak=a1+(k1)dとなります.この時,求める|a7a1|=67|(da1)|となります.ak=a1+(k1)dkZであるから,a1+(k1)d0(modk),すなわちa1d(modk)を得ます.k1~7までの値をとるから,1,2,3,4,5,6,7の最小公倍数420を用いてa1d(mod420)と表せます.d=a1とすると,「相異なる」という条件に反するのでda1です.従って,|(da1)|の最小値は420となります.ak=420kとすれば実際にそのような構成は可能なので解答は360となります.

答:360

JMO2023-6

正六角形が図のように長方形に内接している.斜線部の三角形と四角形の面積がそれぞれ20,23である時,正六角形の面積を求めよ.

JMO2023-6 JMO2023-6

ポイント:具体的な辺の長さを出すのは難しそうなので相似などで面積の関係を考える

求める面積をSとし,下図のように点に名前をつけます.簡単な角度計算よりABCICEであり,BCCEの辺の比を考えればその相似比は1:3であるから面積比は1:3である.よって,ICE=60=23+CFEであるからCFE=37を得る.CFE=16SであるからS=222を得ます.

答:222

JMO2023-6(2) JMO2023-6(2)

JMO2023-7

正の整数a,b,c

(ab1)(ac1)bc=2023, bc
をみたしている.cとしてありうる値を全て求めよ.

ポイント:不等式で評価する

(ab1)(ac1)bc=(a1b)(a1c)=2023となる.a1a1b,a1c<aであることからa=45を得ます.b=1の時,実際に代入してみると不適であるとわかります.従って,b1となります.b,cが共に1でないならばab1bの倍数とはならないためac1bZとなります.同様にab1cZとなります.

ac=bk+1,ab=cl+1とおきます(kl).するとkl=2023を得るので(l,k)=(1,2023),(7,172),(17,717)となります.a=45と併せて連立方程式を解くと,c=82,167,1034を得ます.

答:82,167,1034

JMO2023-8

図のような15個の円と20本の線分からなる図形があり,これらの円のそれぞれに0,1,2のいずれかを1つずつ書き込むことを考える.書き込み方の"美しさ"を,20本の線分のうち,その両端の円に書き込まれた数の差が1であるようなものの個数とする."美しさ"としてありうる最大の値をMとするとき,"美しさ"がMとなるような書き込み方は何通りあるか.

JMO2023-8 JMO2023-8

ポイント:実験をしてMのアタリをつける.

たくさん実験すると,M=17までは作れることがわかると思います.よって,暫定的にM17であることを証明してみます.下図のような五角形が二つつながった図形を考えてみましょう.このような図形において,美しさが9となるように書き込むのは不可能であることは容易にわかります.一方で美しさを8とすることは可能です(図を参照).従って,五角形が二つ存在した時に美しくない辺(その両端の円に書き込まれた数の差が1でない線分)は必ず一つ存在します.問題の図に戻ると,五角形は6つあるから最低限美しくない辺が3つ(すなわちM17)は必要です.美しさを17とすることは可能なのでM=17となります.

M=17とわかったので数え上げていきます.中央の五角形は必ず一つ美しくない辺を持ちます.そのような辺の選び方は5通りです.中央の五角形の美しくない辺が決まれば残りの美しくない辺も決まります.よって,美しくない辺の配置は5通りです.各5通りに対してそれぞれ対称なので代表して下図のような状況を考えます.赤く色をつけた辺が美しくない辺です.A1,B=0 or 2とします.(02は等価です.)

内側の正五角形の美しくない辺の両端の円に書かれている数字がAかBで場合分けをしましょう.そこを定めてしまえば,残りの円に書かれる数字がAなのかBなのかが定まります.それぞれAに書き込まれる数の候補は1通り,Bに書き込まれる数の候補は2通りなのでBの円の数をxとすれば書き込み方は2xとなります.それぞれのケースについてx=7,8なので求める場合の数は5(27+28)=1920が解答となります.

答:1920通り

JMO2023-8(2) (A,B)=({1},{0,2}),({0,2},{1}) JMO2023-8(2) (A,B)=({1},{0,2}),({0,2},{1})

JMO2023-8(3) JMO2023-8(3)

投稿日:2023110
更新日:202483
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