JMO2023 予選4の体育
お久しぶりです(^^)/． 予選の日のツイート で体育をした，と書きましたが，その方法があまりにも計算量が多かったので書いてみました．
正の実数$x,y$に対し，正の実数$x*y$を$\dfrac{x}{xy+1}$で定める．このとき$$ (((\cdots(((100*99)*98)*97)*)*\cdots)*3)*2)*1$$を計算せよ．ただし，解答は$*$を用いず数値で答えること．
もちろん体育なのでごり押します．
カッコを書くのはめんどくさいので，基本的に左から演算をすることにします．
$n$を整数として$\dfrac{p_n}{q_n}=100*99*\cdots*(101-n)$となるような整数列$p_n,q_n$を定めます．このとき
$$
\begin{aligned}
\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\dfrac{p_n}{q_n}*(100-n)=\dfrac{\frac{p_n}{q_n}}{\frac{p_n}{q_n}\cdot(100-n)+1}=\dfrac{p_n}{p_n(100-n)+q_n}
\end{aligned}$$
$p_1=100,q_1=1$なので$p_{n+1}=p_n,q_{n+1}=p_n(100-n)+q_n$が成立します．$p_n$が定数じゃねぇか，ってことなので$p_n=100$です．従って$q_{n+1}=q_n+100(100-n)$と書き換えられ階差型の漸化式になります．これから$q_n=-50n^2+10050n-9999$が得られます．
以上から$$100*99*\cdots*2*1=\dfrac{p_{100}}{q_{100}}=\dfrac{100}{495001}$$と計算ができました．
体育は，とりあえず計算量が多いです．自分が解いたときは4番級の計算量ではないな，と思ってツイートしてみました．
ちなみに，他の（想定解と思われる）解法は 最初に書いたツイート の返信欄に皆さんが書いてくださっているので，ぜひご覧ください．他にもMathlogとかTwitterをあさればいっぱい出てきます．