JMO2023 予選4の体育

数オリ,JMO2023,JMO

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　お久しぶりです(^^)/．予選の日のツイートで体育をした，と書きましたが，その方法があまりにも計算量が多かったので書いてみました．

正の実数 $x, y$ に対し，正の実数 $x * y$ を $\frac{x}{x y + 1}$ で定める．このとき $(((\dots (((100 * 99) * 98) * 97) *) * \dots) * 3) * 2) * 1$ を計算せよ．ただし，解答は $*$ を用いず数値で答えること．

もちろん体育なのでごり押します．
カッコを書くのはめんどくさいので，基本的に左から演算をすることにします．
$n$ を整数として $\frac{p_{n}}{q_{n}} = 100 * 99 * \dots * (101 - n)$ となるような整数列 $p_{n}, q_{n}$ を定めます．このとき
$\begin{array}{r} \frac{p_{n + 1}}{q_{n + 1}} = \frac{p_{n}}{q_{n}} * (100 - n) = \frac{\frac{p_{n}}{q_{n}}}{\frac{p_{n}}{q_{n}} \cdot (100 - n) + 1} = \frac{p_{n}}{p_{n} (100 - n) + q_{n}} \end{array}$
$p_{1} = 100, q_{1} = 1$ なので $p_{n + 1} = p_{n}, q_{n + 1} = p_{n} (100 - n) + q_{n}$ が成立します． $p_{n}$ が定数じゃねぇか，ってことなので $p_{n} = 100$ です．従って $q_{n + 1} = q_{n} + 100 (100 - n)$ と書き換えられ階差型の漸化式になります．これから $q_{n} = - 50 n^{2} + 10050 n - 9999$ が得られます．
　以上から $100 * 99 * \dots * 2 * 1 = \frac{p_{100}}{q_{100}} = \frac{100}{495001}$ と計算ができました．