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JMO2023 予選4の体育

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 お久しぶりです(^^)/. 予選の日のツイート で体育をした,と書きましたが,その方法があまりにも計算量が多かったので書いてみました.

正の実数$x,y$に対し,正の実数$x*y$$\dfrac{x}{xy+1}$で定める.このとき$$ (((\cdots(((100*99)*98)*97)*)*\cdots)*3)*2)*1$$を計算せよ.ただし,解答は$*$を用いず数値で答えること.

もちろん体育なのでごり押します.
カッコを書くのはめんどくさいので,基本的に左から演算をすることにします.
$n$を整数として$\dfrac{p_n}{q_n}=100*99*\cdots*(101-n)$となるような整数列$p_n,q_n$を定めます.このとき
$$ \begin{aligned} \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\dfrac{p_n}{q_n}*(100-n)=\dfrac{\frac{p_n}{q_n}}{\frac{p_n}{q_n}\cdot(100-n)+1}=\dfrac{p_n}{p_n(100-n)+q_n} \end{aligned}$$
$p_1=100,q_1=1$なので$p_{n+1}=p_n,q_{n+1}=p_n(100-n)+q_n$が成立します.$p_n$が定数じゃねぇか,ってことなので$p_n=100$です.従って$q_{n+1}=q_n+100(100-n)$と書き換えられ階差型の漸化式になります.これから$q_n=-50n^2+10050n-9999$が得られます.
 以上から$$100*99*\cdots*2*1=\dfrac{p_{100}}{q_{100}}=\dfrac{100}{495001}$$と計算ができました.

体育は,とりあえず計算量が多いです.自分が解いたときは4番級の計算量ではないな,と思ってツイートしてみました.

ちなみに,他の(想定解と思われる)解法は 最初に書いたツイート の返信欄に皆さんが書いてくださっているので,ぜひご覧ください.他にもMathlogとかTwitterをあさればいっぱい出てきます.

投稿日:2023110

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