JMO2023予選の10番のみ

こんにちは, １週間後に†高校受験†が控えている中3のVecです. なので今回のJMOには参加していませんが, 大会後出回っていた問題を見て珍しく難角問題だった10番のみ解いてみたので解説を書いています～

図はこんな感じです.

問題

中点と直角があるので, $DM$結んで三角形$AMD$と$DMC$の二等辺ができるのは分かりますが, $\mathrm{\angle }PDB={115}^{\circ }$の条件と結びつきませんね. 別のものを一旦探してみます.

条件から$MAP\sim MBA$は即座に分かります, そして$BM$を伸ばして平行四辺形作ってみたところ, 遠回りでしたが反対側で$MCP\sim MBC$が見つかりました.
実際のところ, これは$\frac{AM}{MP}=\frac{BM}{AM}\iff \frac{CM}{MP}=\frac{BM}{CM}$ から導かれます.

さて, なんとこれで既に必要なものは揃っています.
$\mathrm{\angle }MDC=\mathrm{\angle }MCD=\mathrm{\angle }MPC$から, $4$点$M,C,D,P$は共円です.
よって $\mathrm{\angle }PDB=\mathrm{\angle }PMC$となり, 外角である$\mathrm{\angle }PMA$は${65}^{\circ }$となります.
以上より$\mathrm{\angle }BAC={78}^{\circ }$が答えとなります.$◻$

余談

これだけで終わるのも味気ないので, $BM$伸ばしたときに見つけた, 同じ条件の求値で使えそうな性質の紹介をします.

相似

添付した図で$ACP\sim B^{\prime }BC$となり, $\frac{AP}{CP}=\frac{B^{\prime }C}{BC}=\frac{AB}{BC}$より成立.$◻$

以上です. 私は難角問題を解いた経験は殆どなかったため, 余計な考察をいろいろする羽目になりましたが, 解けた人には一瞬, 道が見えないと他の数え上げで体育会系するより時間のかかる, そんな問題だったと思います.