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角の二等分線の定理(証明)

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はじめに

角の二等分線の定理について、正弦定理をつかって直ちに示されることに気づいたので
記録しておきます。

定理

角の二等分線の定理

図のように、三角形において、角の二等分線が対辺を分割する状況を考える。

このとき、
BD:DC=AB:AC
が成り立つ

証明1

図のように角をα,θとおく。

ABDについて正弦定理を考えると
BDsinα=ABsinθ
ADCについて正弦定理を考えると
DCsinα=ACsinθsin(πθ)=sinθ
辺々の比を取ると
BDDC=ABAC
したがって
BD:DC=AB:AC

証明2

Dを通り辺ACに平行な線を引くと下図のようになる。
ADE=DAC錯角)
EDB=ACB同位角)
ED=AE二角が等しいのでAEDは二等辺三角形)

ABCEBDは相似なので
(c1+c2+b):(a1+a2)=(c2+c1):a1
よって
a1(c1+c2+b)=(a1+a2)(c2+c1)
両辺で共通しているものを取り除くと
a1b=a2(c1+c2)
辺の表現を直すと
BDAC=DCAB
整理して
BDDC=ABAC
したがって
BD:DC=AB:AC

投稿日:2024519
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tanu
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