角の二等分線の定理について、正弦定理をつかって直ちに示されることに気づいたので記録しておきます。
図のように、三角形において、角の二等分線が対辺を分割する状況を考える。 このとき、BD:DC=AB:ACが成り立つ
図のように角をα,θとおく。 △ABDについて正弦定理を考えるとBDsinα=ABsinθ△ADCについて正弦定理を考えるとDCsinα=ACsinθ∵sin(π−θ)=sinθ辺々の比を取るとBDDC=ABACしたがってBD:DC=AB:AC
点Dを通り辺ACに平行な線を引くと下図のようになる。∠ADE=∠DAC (∵錯角)∠EDB=∠ACB (∵同位角)ED=AE (∵二角が等しいので△AEDは二等辺三角形)
△ABCと△EBDは相似なので(c1+c2+b):(a1+a2)=(c2+c1):a1よってa1(c1+c2+b)=(a1+a2)(c2+c1)両辺で共通しているものを取り除くとa1b=a2(c1+c2)辺の表現を直すとBD⋅AC=DC⋅AB整理してBDDC=ABACしたがってBD:DC=AB:AC
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