自作問題置き場 2023年1月

とりあえず、自作の問題を置いておく。

問題

解答と解説

こちらで想定した解法を示す。もっとよい解き方があるかもしれない。

問題1

$l,k,n$ の範囲を絞る

ある $n$ が与式の解に含まれるなら、その$n$を$-n$に差し替えた五つ組も与式の解となるので、$n\ge 0$ についてだけ考えればよい。
また、与式の左辺の 2 項はどちらも 0 より大きいので、$n$ は $0$ ではない。すなわち、$n$ は自然数だけ考えればよい。
$l$ が負、$k$ が負でない場合、左辺 1 項目は非整数、左辺 2 項目は整数なので、左辺全体は非整数になる。しかし、右辺は自然数なので $l$ が負ならば、$k$ も負でなければならない。
ところで、左辺 1 項目は、$l$ に対して単調増加であるが、$l$ が負の範囲では $p$ に対して単調減少である。つまり、$l$ が負の場合、左辺 1 項目は $p=2,l=-1$ のときに最大値 $2^{-2}=1/4$ を取る。
同様に考えれば、$k$ が負のとき、左辺 2 項目は $p=2,k=-1$ のときに最大値 $2^{-1}=1/2$ を取る。
したがって、$l$ が負のとき、左辺の最大値はたかだか $3/4$ であり、整数値をとることはない。
つまり、$l$ は負ではない。同様に考えて $k$ も負ではないことがわかる。

$l$ が負のときを考えると、$p=2,l=-1$ が次に $k$ が負の場合、左辺が非整数になってしまうが、右辺は整数なの$k$ が左辺 2 項目は、$q=2,k=-1$ 次に $k$ が負の場合、左辺が非整数になってしまうが、右辺は整数なので $k\ge 0$ である。

以下、次の条件で考えてよいことになる。
$$l\ge 0,k\ge 0,n>0.$$

平方の差を利用し、両辺が積の形になるように変換する

与式より、
$$\begin{array}{}\text{(1)}& q^k=n^4-(p^l{)}^2=(n^2+p^l)(n^2-p^l).\end{array}$$
$q$は素数なので、右辺の2項は $q$ のべきで表される。したがって、$0\le m<k/2$ なる整数 $m$ を用いて次のように書ける。
$$\begin{array}{}\text{(2)}& n^2+p^l=q^{k-m},n^2-p^l=q^m.\end{array}$$

2式の差から、
$$\begin{array}{}\text{(3)}& 2p^l=q^{k-m}-q^m=q^m(q^{k-2m}-1).\end{array}$$
また、式 (2) より
$$\begin{array}{}\text{(4)}& n^2=p^l+q^m.\end{array}$$

以下、$q^m$ が $1$、$2$、それ以外の場合に分けて考える。

$q^m=1$ の場合

$q$ は素数なので、 $q^m=1$ ならば $m=0$ である。
式 (4) に $q^m=1$ を代入して整理すると、
$$p^l=n^2-1=(n+1)(n-1)$$
$p$ は素数なので、$0\le s<l/2$ なる整数 $s$ を用いて、次のように書ける。
$$n+1=p^{l-s},n-1=p^s$$
2 式の差から、
$$2=p^{l-s}-p^s=p^s(p^{l-2s}-1)$$
したがって、右辺の 2 項は一方が $1$、他方が $2$ でなければならない。

もし $p^s=1,p^{l-2s}-1=2$ ならば、$p^s=1$ より $s=0$。
$p^{l-2s}=3$ より、 $p=3,l-2s=l=1$。
また、 $n=p^s+1=2$ であるから、与式より、
$$\begin{gathered} q^k=n^4-p^{2l}=2^4-3^2=16-9=7, \\ \therefore q=7,k=1. \end{gathered}$$
つまり、$(p,l,q,k,n)=(3,1,7,1,2)$ は与式の解である。

もし $p^s=2,p^{l-2s}-1=1$ ならば、$p^s=2$ より $p=2,s=1$。
$p^{l-2s}=2$ より、 $l-2s=l-2=1$、すなわち、$l=3$。
また、 $n=p^s+1=3$ であるから、与式より、
$$\begin{gathered} q^k=n^4-p^{2l}=3^4-2^6=81-64=17, \\ \therefore q=17,k=1. \end{gathered}$$
つまり、$(p,l,q,k,n)=(2,3,17,1,3)$ は与式の解である。

$q^m=2$ の場合

$q^m=2$ ならば、$q=2,m=1$。
一方、式 (3) より、
$$p^l=q^{k-2m}-1=2^{k-2m}-1=2^{k-2}-1,$$
式 (4) より
$$\begin{array}{}\text{(5)}& p^l=n^2-q^m=n^2-2,\end{array}$$
であり、この 2 式が等しいので、
$$2^{k-2}=n^2-1=(n+1)(n-1).$$

$q^m=1$ のときと同様に、$0\le s<(2^{k-2})/2$ なる整数 $s$ を用いれば、
$$\begin{array}{}\text{(6)}& n=2^s+1,\end{array}$$
で
$$2=2^s(2^{k-2-2s}-1).$$
この右辺の第 2 項は $2$ になり得ないので、$2^s=2,2^{k-2-2s}=2$。
よって $s=1,k-2-2s=k-4=1$、つまり $k=5$。
式 (6) より、
$$n=2^s+1=2+1=3,$$
式 (5) より、
$$p^l=n^2-q^m=3^2-2=9-2=7,\therefore p=7,l=1.$$
つまり、$(p,l,q,k,n)=(7,1,2,5,3)$ は与式の解である。

$q^m\ge 3$ の場合

式 (3) を再掲する。
$$2p^l=q^m(q^{k-2m}-1)$$
$q=2$ と仮定すると、$q^{k-2m}$ は、$1$ もしくは $2$ 以上の偶数である。
ただ、$q^{k-2m}$ が $1$ だと、式 (3) の右辺が $0$ になってしまうので、$q^{k-2m}$ は偶数、すなわち、右辺第 2 項 $(q^{k-2m}-1)$ は奇数である。
なので、式 (3) の左辺 $2p^l$ に含まれる素因子 $2$ は、すべて $q^m$ に含まれている。
もし、$p\ne 2$ ならば、$2p^l$ に含まれる素因子 $2$ はひとつだけなので、$q^m=2$ となるが、これは $q^m\ge 3$ と矛盾するので、$p=2$ でなければならない。
したがって $2p^l=q^m$。
式 (4) より、
$$n^2=p^l+q^m=p^l+2p^l=3p^l=3\cdot 2^l.$$
このような $n$ は存在しないので、$q=2$ という仮定が誤りである。

$q\ne 2$ ならば、$q^m\ne 1$ でもあるので、式 (3) の両辺を比べると、
$$2=q^{k-2m}-1,p^l=q^m$$
の組み合わせにしかならない。
よって、$p=q=3$。
式 (4) より、
$$n^2=p^l+q^m=p^l+p^l=2p^l=2\cdot 3^l.$$
このような $n$ は存在しない。
つまり、$q$ は $q=2$ でも $q\ne 2$ でもないので、 $q^m\ge 3$ で与式を見たす解は存在しない。

まとめ

以上より、与式を満たす五つ組は、
$$(p,q,k,n)=(3,1,7,1,\pm 2),(2,3,17,1,\pm 3),(7,1,2,5,\pm 3)$$
の計 6 組である。
実際に、
$$\begin{gathered} 3^{2\cdot 1}+7^1=9+7=16=(\pm 2{)}^4, \\ {2}^{3\cdot 1}+{17}^1=64+17=81=(\pm 3{)}^4, \\ {7}^{2\cdot 1}+2^5=49+32=81=(\pm 3{)}^4, \end{gathered}$$
となっている。