コーシーシュワルツの不等式の証明に判別式はいらない

$\parallel f\parallel =0$または$\parallel g\parallel =0$の時は自明. そうでないなら, 定数倍し$\parallel f\parallel =\parallel g\parallel$としてよい.
このとき, $0\le ⟨f-g,f-g⟩=2\parallel f\parallel \parallel g\parallel -2⟨f,g⟩$より, $\parallel f\parallel \parallel g\parallel \ge ⟨f,g⟩.$