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高校数学解説
コーシーシュワルツの不等式の証明に判別式はいらない
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$$\newcommand{Aut}[0]{\mathrm{Aut}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{char}[0]{{\bf char}}
\newcommand{comp}[0]{\circ}
\newcommand{core}[0]{\rm{core}}
\newcommand{gen}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{imply}[0]{\Rightarrow}
\newcommand{iso}[0]{\simeq}
\newcommand{lnormal}[0]{\triangleleft }
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rnormal}[0]{\triangleright}
\newcommand{semiprod}[3]{{#1}\ltimes_{#2}#3}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
コーシーシュワルツの不等式
$V$が実計量空間, $f,g\in V$なら$\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$
$\|f\|=0$または$\|g\|=0$の時は自明. そうでないなら, 定数倍し$\|f\|=\|g\|$としてよい.
このとき, $0\leq \gen{f-g,f-g}=2\|f\|\|g\|-2\gen{f,g}$より, $\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$
複素でも$\gen{f,g}\in \R$となるように定数倍すれば回ります.
本質的に判別式と一緒ではありますが、さすがにこっちのほうが素直だと思います
投稿日：2023年1月16日
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