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コーシーシュワルツの不等式の証明に判別式はいらない

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$$\newcommand{Aut}[0]{\mathrm{Aut}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{char}[0]{{\bf char}} \newcommand{comp}[0]{\circ} \newcommand{core}[0]{\rm{core}} \newcommand{gen}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{imply}[0]{\Rightarrow} \newcommand{iso}[0]{\simeq} \newcommand{lnormal}[0]{\triangleleft } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rnormal}[0]{\triangleright} \newcommand{semiprod}[3]{{#1}\ltimes_{#2}#3} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
コーシーシュワルツの不等式

$V$が実計量空間, $f,g\in V$なら$\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$

$\|f\|=0$または$\|g\|=0$の時は自明. そうでないなら, 定数倍し$\|f\|=\|g\|$としてよい.
このとき, $0\leq \gen{f-g,f-g}=2\|f\|\|g\|-2\gen{f,g}$より, $\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$

複素でも$\gen{f,g}\in \R$となるように定数倍すれば回ります.
本質的に判別式と一緒ではありますが、さすがにこっちのほうが素直だと思います

投稿日:2023116

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