$V$が実計量空間, $f,g\in V$なら$\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$
$\|f\|=0$または$\|g\|=0$の時は自明. そうでないなら, 定数倍し$\|f\|=\|g\|$としてよい.
このとき, $0\leq \gen{f-g,f-g}=2\|f\|\|g\|-2\gen{f,g}$より, $\|f\|\|g\|\geq \gen{f,g}.$
複素でも$\gen{f,g}\in \R$となるように定数倍すれば回ります.
本質的に判別式と一緒ではありますが、さすがにこっちのほうが素直だと思います