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ELMOのFEを解いてみた(雑)

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中途半端で雑です

解いてみた

2019ELMO.SLP.A5.

Find all nondecreasing functions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ such that, for all$x,y\in \mathbb R$,$$f(f(x))+f(y)=f(x+f(y))+1.$$

(日本語で書くのがめんどくさいので,コピペ)
問題は ここらへんから .

ぱっと見て,$f(x)=1,x+1$かな?恒等のほうがやりやすそうだし,$f(x)=g(x)+1$とおいて,元の式に代入してみる:
$$g(g(x)+1)+g(y)=g(x+g(y)+1)\tag*{$P(x,y)$}$$まず,$P(0,0)$より,$g(0)=0$.$P(0,x)$$P(x,0)$の比較によって,$$g(x+1)=g(x)+g(1).\tag{1}$$ $(1)$$P(x,0)$より, $$g(g(x))=g(x).\tag2$$$(1),(2)$を用いて,$P(x,y)$を変形すると,$$g(x)+g(y)=g(x+g(y)).\tag*{$Q(x,y)$}$$情報を上手く分けることができたし,任意の$x,y\in \mathbb R$$P(x,y)$をみたすことと$(1)\land(2)\land Q(x,y)$をみたすことは同値ですね.上手くいってそうな気がしますが$(2)\land Q(x,y)$から嫌な臭いがしてきますね. IMO でありましたね.あまりすっきりした解ではなかったような気がするので,この問題も非自明なものがあるのかもしれないですね...ですが,$(1)$がどうにかしてくれることを願いましょう.

さて,$c=g(1)=0$のとき,任意の$n \in \mathbb Z$に対して,$g(n)=cn=0$が成り立ち,もちろん$g$も非減少なので$g(x)=0$が必要.$Q(x,y)$で色々すると,$g(ng(x))=ng(x)$$\ \ (n \in \mathbb Z,x \in \mathbb R)$が成り立ち,特に$g(cn)=cn=g(n)$が分かる.$c\ne0$のときを考える.$c<0$なら$0 \in [c,1]$より$c=0$となるから不適で,$c\ne1$なら大きいところで一定になるが,$(1)$より不適.つまり,$c=1$が言えた.これによって,$(1)$が消え,$c=1$という情報しか残りませんでした😱.恒等と定値以外にもあるのだと覚悟を決めました.

色々したら,$g(mg(x)+ng(y))=mg(x)+ng(y)\ \ (m,n\in\mathbb Z,x,y\in\mathbb R)$なので,$$\forall x,y\in g(\mathbb R),\forall m,n \in \mathbb Z,mx+ny\in g(\mathbb R).\tag3$$これは,$g(\mathbb R)$が稠密でなかったら,$g(\mathbb R)\subset \mathbb Q\ $($\because$クロネッカーの定理)かつ$g(\mathbb R)$の元(0は考えない)を既約分数で表した時の分母すべてのgcdは有限である.($n>0$とおく.)一般化されたベズーの補題より$\frac1n\in g(\mathbb R)$なので,$(3)$より$g(\mathbb R)=\left\{\cdots,\frac{-2}n,\frac{-1}n,0,\frac1n,\frac2n,\cdots\right\}$.$(2)$より,$g\left(\frac 1n\right)=\frac 1n$$Q(x,\frac1n)$より,$$g(x)+\frac1n=g\left(x+\frac1n\right).\tag4$$$(4)$より,$g^{-1}(0)=\left\{x :g(x)=0\right\}$は半開区間で,$g^{-1}(0)=\left[\left.-a,-a+\frac1n\right)\right.or \left(\left.a-\frac1n,a\right]\right.\ \ \left(a\in\left[\left.0,\frac1n\right)\right.\right)$と書ける.それぞれのとき$g(x)=\frac1n\left\lfloor n(x+a)\right\rfloor,g(x)=\frac1n\left\lceil n(x-a)\right\rceil$が必要.

逆に$g(\mathbb R)$が稠密なら非減少なので,$g$は連続で,$(2)$より,$g(x)=x$が必要.

十分性は明らか.(必要十分条件を追っていけば簡単.)よって求める解は,$f(x)=1,f(x)=x+1,f(x)=\frac1n\left\lfloor n(x+a)\right\rfloor+1,f(x)=\frac1n\left\lceil n(x-a)\right\rceil+1\ \ \\ (n\in \mathbb Z_{>0},a\in\left[\left.0,\frac1n\right)\right.)$

感想

同値を意識すると,変な解があっても落ち着いて対処できるかもしれないなって思いました.

投稿日:2023119

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2006年に生まれました

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