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高校数学解説
文献あり

平方根を整数で近似(2)

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$\sqrt{1+x}$のMaclaurin展開

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\cdots$$

平方根の和を整数で近似する方法

$s+t=1$とする.
$$s\sqrt{1+\frac{x}{s}}=s+\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\frac{x^2}{s}+\cdots$$
$$t\sqrt{1+\frac{-x}{t}}=t+\frac{-x}{2}-\frac{1}{8}\frac{x^2}{t}+\cdots$$
$$\sqrt{s^2+sx}+\sqrt{t^2-tx}=1-\frac{x^2}{8st}+\cdots$$
$m,n$を整数として
$$s=\frac{m}{m+n},t=\frac{n}{m+n},x=\frac{1}{k^2}$$
とおくと
$$\sqrt{\frac{m^2k^2+m(m+n)}{(m+n)^2}}+\sqrt{\frac{n^2k^2-n(m+n)}{(m+n)^2}}=k-\frac{(m+n)^2}{8mnk^3}+\cdots$$

  1. $m=5,n=4,k=12$
    $$\sqrt{\frac{5^2 12^2+5\times9}{9^2}}+\sqrt{\frac{4^2 12^2-4\times 9}{9^2}}=12-\frac{9^2}{8\times 5\times 4\times 12^3}+\cdots$$
    より$\sqrt{45}+\sqrt{28} \fallingdotseq 12$

  2. $m=5,n=4,k=15$
    $$\sqrt{\frac{5^2 15^2+5\times9}{9^2}}+\sqrt{\frac{4^2 15^2-4\times 9}{9^2}}=15-\frac{9^2}{8\times 5\times 4\times 15^3}+\cdots$$
    より$\sqrt{70}+\sqrt{44} \fallingdotseq 15$

参考文献

[1]
数学セミナー編集部, 数学セミナー2020 12月号
投稿日:2023124

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tfshhiy
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