平方根を整数で近似(2)

$s+t=1$とする.
$$s\sqrt{1+\frac{x}{s}}=s+\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\frac{x^2}{s}+\cdots$$
$$t\sqrt{1+\frac{-x}{t}}=t+\frac{-x}{2}-\frac{1}{8}\frac{x^2}{t}+\cdots$$
$$\sqrt{s^2+sx}+\sqrt{t^2-tx}=1-\frac{x^2}{8st}+\cdots$$
$m,n$を整数として
$$s=\frac{m}{m+n},t=\frac{n}{m+n},x=\frac{1}{k^2}$$
とおくと
$$\sqrt{\frac{m^2{k}^2+m(m+n)}{(m+n{)}^2}}+\sqrt{\frac{n^2{k}^2-n(m+n)}{(m+n{)}^2}}=k-\frac{(m+n{)}^2}{8mn{k}^3}+\cdots$$