出典は ここらへん から.
p≦qをみたす素数の組(p,q)であって,p2−3pq+q2p+qが整数となるようなものをすべて求めよ.
鋭角三角形ABCがあり,その垂心をHとする.三角形AHBの外接円,三角形AHCの外接円上にそれぞれHと異なる点P,Qを,3点P,H,Qがこの順に同一直線上にあるようにとる.このとき,ある円ωが存在し,P,Qのとり方によらず線分PQの中点がω上にあることを示せ.
nを2以上の整数とする.n2枚のカード(カード1,カード2,…,カードn2)があり,1以上n2以下の整数iについて,カードiには⌈n2i⌉が書かれている.n×nのマス目の各マスに1枚ずつカードを置く方法であって,次の条件をみたすものが存在するようなnをすべて求めよ.
辺を共有して隣りあうどの2マスについても,その2マスに置いたカードに書かれている2つの整数は互いに素である.
正の実数からなる数列a1,a2,...は,任意の正の整数nに対して(∗)an+1=an⋅⌊an+2⌋をみたしている.このとき,任意の正の整数nについてan=a1が成り立つことを示せ.
10×10のマス目があり,そのうちいくつかのマスが黒く,残りのマスが白く塗られている.次の2つ条件のうち少なくとも1つをみたすような白いマスを1つ選び,黒く塗りなおす操作を考える.
今回は40点満点の28点がボーダーで,少し簡単だったかなという印象です.これと言って,難しいものもなかったように思いました.私は3番の問題が好きです.
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