東京大学入試問題2003

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$t$を実数とする.
$$0,6,7+7i,\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7}$$
は１つの円周上にあることを示せ.

複素数の一次分数変換は,「円または直線」を「円または直線」に移すことが知られていますので,この観点から調べてみましょう.

$0,a,b$を互いに異なる複素数とする.
$a$は実数とする.
$t$を実数のパラメータとする.
このとき,
$$0,a,b,\frac{b(t-a)}{t-b}$$
は同一直線上または同一円周上にある.

$0,a,t,\infty$は同一直線上にある.（実軸上）
$-b,a-b,t-b,\infty$は同一直線上にある.（$-b$平行移動したので）
$$\frac{-1}{b},\frac{1}{a-b},\frac{1}{t-b},0$$
は同一直線上または同一円周上にある.（反転したので）
$$\frac{a-b}{b},-1,\frac{b-a}{t-b},0$$
は同一直線上または同一円周上にある.（$b-a$をかけたので）
$$\frac{a}{b},0,\frac{t-a}{t-b},1$$
は同一直線上または同一円周上にある.（$+1$平行移動したので）
$$a,0,\frac{b(t-a)}{t-b},b$$
は同一直線上または同一円周上にある.（$b$をかけたので）

$a=6,b=7(1+i)$のとき
$$\frac{b(t-a)}{t-b}=\frac{7(1+i)(t-6)}{t-7(1+i)}=\frac{14(t-6)}{(1-i)t-14}=\frac{14(\frac{t}{2}-3)}{(1-i)\frac{t}{2}-7}$$
$0,6,7(1+i)$は同一直線上にはないので,$s=\frac{t}{2}$とおくと,
$$0,6,7+7i,\frac{14(s-3)}{(1-i)s-7}$$
は同一円周上にある.

投稿日：2023年1月25日

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