東京大学入試問題2003

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$t$ を実数とする.
$0, 6, 7 + 7 i, \frac{14 (t - 3)}{(1 - i) t - 7}$
は１つの円周上にあることを示せ.

複素数の一次分数変換は,「円または直線」を「円または直線」に移すことが知られていますので,この観点から調べてみましょう.

$0, a, b$ を互いに異なる複素数とする.
$a$ は実数とする.
$t$ を実数のパラメータとする.
このとき,
$0, a, b, \frac{b (t - a)}{t - b}$
は同一直線上または同一円周上にある.

$0, a, t, \infty$ は同一直線上にある.（実軸上）
$- b, a - b, t - b, \infty$ は同一直線上にある.（ $- b$ 平行移動したので）
$\frac{- 1}{b}, \frac{1}{a - b}, \frac{1}{t - b}, 0$
は同一直線上または同一円周上にある.（反転したので）
$\frac{a - b}{b}, - 1, \frac{b - a}{t - b}, 0$
は同一直線上または同一円周上にある.（ $b - a$ をかけたので）
$\frac{a}{b}, 0, \frac{t - a}{t - b}, 1$
は同一直線上または同一円周上にある.（ $+ 1$ 平行移動したので）
$a, 0, \frac{b (t - a)}{t - b}, b$
は同一直線上または同一円周上にある.（ $b$ をかけたので）

$a = 6, b = 7 (1 + i)$ のとき
$\frac{b (t - a)}{t - b} = \frac{7 (1 + i) (t - 6)}{t - 7 (1 + i)} = \frac{14 (t - 6)}{(1 - i) t - 14} = \frac{14 (\frac{t}{2} - 3)}{(1 - i) \frac{t}{2} - 7}$
$0, 6, 7 (1 + i)$ は同一直線上にはないので, $s = \frac{t}{2}$ とおくと,
$0, 6, 7 + 7 i, \frac{14 (s - 3)}{(1 - i) s - 7}$
は同一円周上にある.

投稿日：2023年1月25日

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