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東京大学入試問題2003

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$$$$

$t$を実数とする.
$$0,6,7+7i,\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7}$$
は1つの円周上にあることを示せ.

複素数の一次分数変換は,「円または直線」を「円または直線」に移すことが知られていますので,この観点から調べてみましょう.

$0,a,b$を互いに異なる複素数とする.
$a$は実数とする.
$t$を実数のパラメータとする.
このとき,
$$0,a,b,\frac{b(t-a)}{t-b}$$
は同一直線上または同一円周上にある.

  1. $0,a,t,\infty$は同一直線上にある.(実軸上)
  2. $-b,a-b,t-b,\infty$は同一直線上にある.($-b$平行移動したので)
  3. $$\frac{-1}{b},\frac{1}{a-b},\frac{1}{t-b},0$$
    は同一直線上または同一円周上にある.(反転したので)
  4. $$\frac{a-b}{b},-1,\frac{b-a}{t-b},0$$
    は同一直線上または同一円周上にある.($b-a$をかけたので)
  5. $$\frac{a}{b},0,\frac{t-a}{t-b},1$$
    は同一直線上または同一円周上にある.($+1$平行移動したので)
  6. $$a,0,\frac{b(t-a)}{t-b},b$$
    は同一直線上または同一円周上にある.($b$をかけたので)

$a=6,b=7(1+i)$のとき
$$\frac{b(t-a)}{t-b}=\frac{7(1+i)(t-6)}{t-7(1+i)}=\frac{14(t-6)}{(1-i)t-14}=\frac{14(\frac{t}{2}-3)}{(1-i)\frac{t}{2}-7}$$
$0,6,7(1+i)$は同一直線上にはないので,$s=\frac{t}{2}$とおくと,
$$0,6,7+7i,\frac{14(s-3)}{(1-i)s-7}$$
は同一円周上にある.

投稿日:2023125

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tfshhiy
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