競技数学問題

自己紹介と過去作の紹介

自作問題,自己紹介

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自己紹介

初めまして。Spamathといいます。競技数学を始めてからまだ間もなく得意とは言えないのですが、好きなことについて備忘録程度に書いていこうと思います。

過去作の紹介

初投稿ということで過去に作った自作問題の紹介をします。

その１

正月に年賀状に乗せて送った問題です。

2023×2023のマス目に、１か－１を書き込むとき、任意のマスに書かれた数とそのマスを含む行と列を除くすべてのマスに書かれた数の積とが等しいような配置は何通りか。

ヒント（のようなもの）

条件の言い換えができます。2マスくらいで試してみると良いです。

解説

試してみると条件を満たすような数字の入れ方は「各行、各列それぞれの数の総積が等しい。」と言い換えることができます。（なぜ？）また、マス目全体のマスの個数が奇数なので、（各列の総積）＝（各行の総積）＝ｋということも分かります。ここでｋ＝－1とすると、（やってみるとわかるのですが）条件に合いません。よって、ｋ＝1です。ここで、下1列右1行を除いて適当に埋めてみることを考えます。これは$ 2^{2022^2} $通りあります。すると、右下のマスをのぞき、埋まって無いマスを一意に埋めることができます。また、右下のマスが一意に決まることが示せます。（$2022^2$マスの総積と比較すると、と下の列のマスの左2022個、右の列のマス上2022個の総積が等しいことが分かります。）よって、答えは$ 2^{2022^2} $です！

補足（のようなもの）

類題にJMO予選2019の9番があります。

その２

1以上2022以下の自然数を並べ替えて数列${a_n}(1≦n≦2022)$を作ります。そこで、$a_n ≤ a_{n+1}≥ a_{n+2}$または、$a_n ≥ a_{n+1} ≤ a_{n+2}$であるような$a_{n+1}$を、この数列の極と呼ぶことにします。ただし$a_{2023}= a_1, a_{2024} = a_2$であるものとします。このときすべての並び替えにおける極の個数の平均を求めてください。

ヒント（のようなもの）

ある３つの数に注目すればすぐわかります。

解説

3つの数a,b,cが、a$ \lt $b$ \lt $cを満たすとき、6通りの並べ替え方を考えることで、真ん中の数が極になる確率は$ \frac{2}{3} $であることがわかるので、2022×$\frac{2}{3}＝1348$が答えです。

その３

2x、yを非負整数とする。x+2y=2022を満たすすべての(x,y)の組につい
て、$ {}_{x+y}\mathrm{C}_x$の総和を求めよ。

ヒント（のようなもの）

ネタバレをすると組み合わせの問題を代数的にとらえる感じの問題です。はじめ簡単な実験をすると規則性がつかめるかもしれません。

解説

2022段の階段を1段ずつあるいは1段飛ばしのどちらかで上ることを考える。このとき、求める答えはこの上り方に等しいことがわかる。ここで、有名事実としてこの場合の数はFibonacci 数列の2023項目にあたるので、求める答えは$f_{2023}$だとわかります。（実際の値は打つのが大変なので避けておきます。）

失敗作

三角形 ABC があり、A から BC へおろした垂線と BC の交点を D、D から AB におろした垂線と AB の交点を E、E から AC におろした垂線と AC の交点を F とすると、AE:EB=7:2、AF:FC=2:9となりました。このとき、BD:DC を答えてください。

この問題は方針を立てるまではいいのですが、数値設定をミスってしまったため、解答の値が大変なことになってしまったものです。

方針

この問題は方針としては垂心Hを取る→平行線がたくさん→チェバの定理で解くことができます。（解答は割愛します。）

最後に２問（問題だけ）

その１

黒板にＡが書かれている。このとき以下の操作X→YをPを適用しながら行うことを１サイクルと呼ぶ。2023サイクル後に黒板に書かれているＡの個数をｓ、Ｂの個数をｔとしたとき、ｓ+２ｔの値を求めよ。ただし、自然数Ｍに対してＭ！がｎで割れる最大回数をｆ（ｎ,Ｍ）と表すこととし、これを解答に用いてもよい。
操作Ｘ：ＡをＢに、ＢをＡに書き換える。
操作Ｙ：Ａの１つ右に書かれている文字を、Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ａにそれぞれ書き換える。（以下、循環させると呼ぶこととする。）右に文字がな
いとき、新たにＡを書き加える。
操作Ｐ：操作（X,Y,P）において、Ｃに書き換えられたとき、Ｃの一つ右の文字を循環させる。右に文字がないときは新たにＡを書き加える。