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競技数学解説
文献あり

フェルマー点とその発展形

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はじめに

この記事では、有名なフェルマー点の性質とその一般化について書きます。

フェルマー点

△ABCにおいて∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°を満たすような点Fを△ABCのフェルマー点という。

(有名性質)△ABC内の点Pが、AP+BP+CPを最小にするとき、PはFと一致する。

証明
書くのが大変なので割愛します。以下のリンクに3通りの証明が載っています!
https://manabitimes.jp/math/635

(本題)フェルマー点の一般化

では早速問題提起します。

△ABCと正の実数pqrについて、点Pについてp|AP|+q|BP|+r|CP|が最小になる点はどこか。

練習問題として1度やってみてください。

答え

辺の長さが、DE=p、EF=q、FD=rの△DEFが存在するとき、∠D,∠E,∠Fの外角の大きさをα、β、γとすると、∠APB=β、∠BPC=γ、∠CPA=αなる点Pが最小の点である。

確かに、p=q=rの場合はフェルマー点となっています。
証明
フェルマー点の場合は三角形の外側に正三角形をつけましたが、今度は△DEFと相似な三角形を描いてトレミーの不等式から考察するのが速いです。(フェルマー点のときとほとんど同様に証明できます。)

ただし、△DEFが不成立のとき、点Pは、pqrのうち最大であるようなものの属する点(例えばpが最大なら点PはAに一致する。)ということになります。

おわりに

この一般化は地理学のウェイバーの工業立地論などに応用されています。(輸送費を最小にするような立地。)△DEFは重量三角形と呼ばれています。間違い、指摘、感想などがあれば、twitterのDM(@Sparrowckun)などで教えてくれると嬉しいです。

参考文献

投稿日:2023127

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