フェルマー点とその発展形

はじめに

この記事では、有名なフェルマー点の性質とその一般化について書きます。

フェルマー点

△ABCにおいて∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°を満たすような点Fを△ABCのフェルマー点という。

（有名性質）△ABC内の点Pが、AP+BP+CPを最小にするとき、PはFと一致する。

証明
書くのが大変なので割愛します。以下のリンクに３通りの証明が載っています！
https://manabitimes.jp/math/635

（本題）フェルマー点の一般化

では早速問題提起します。

△ＡＢＣと正の実数ｐｑｒについて、点Ｐについてｐ｜ＡＰ｜+ｑ｜ＢＰ｜+ｒ｜ＣＰ｜が最小になる点はどこか。

練習問題として1度やってみてください。

答え

辺の長さが、ＤＥ＝ｐ、ＥＦ＝ｑ、ＦＤ＝ｒの△ＤＥＦが存在するとき、∠Ｄ，∠Ｅ，∠Ｆの外角の大きさをα、β、γとすると、∠ＡＰＢ＝β、∠ＢＰＣ＝γ、∠ＣＰＡ＝αなる点Ｐが最小の点である。

確かに、ｐ＝ｑ＝ｒの場合はフェルマー点となっています。
証明
フェルマー点の場合は三角形の外側に正三角形をつけましたが、今度は△ＤＥＦと相似な三角形を描いてトレミーの不等式から考察するのが速いです。（フェルマー点のときとほとんど同様に証明できます。）

ただし、△DEFが不成立のとき、点Pは、ｐｑｒのうち最大であるようなものの属する点（例えばｐが最大なら点ＰはＡに一致する。）ということになります。

おわりに

この一般化は地理学のウェイバーの工業立地論などに応用されています。（輸送費を最小にするような立地。）△DEFは重量三角形と呼ばれています。間違い、指摘、感想などがあれば、twitterのDM（@Sparrowckun）などで教えてくれると嬉しいです。