混線内接円を反転

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はじめに

　curvilinear incircle の angle chase がややこしく，手順を忘れたり，頭が混線したりしたので，mixitilinear incircle (以下，「混線内接円」) のいくつかの性質を，反転で(curvilinear incircleなしに)示します．

準備

　混線内接円を定義します．

混線内接円

　 $△ A B C$ において，半直線 $A B, A C$ に接し， $A B C$ の外接円に内接する円を ( $∠ A$ 内の) 混線内接円という．

　今回の記事では，「 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ の外接円」を $(P_{1} P_{2} \dots P_{n})$ と略記します．

　必要な点と円を定義します．

基本的な点・円の名前

　 $△ A B C$ において，

$Γ$ : 外接円
$ω$ : 内接円
$ω_{A}$ : $∠ A$ 内の傍接円
$Ω_{A}$ : $∠ A$ 内の混線内接円
$I$ : 内心
$I_{A}$ : $∠ A$ 内の傍心
とする．

接点の名前

$Ω_{A}$ と $A C, A B, Γ$ の接点をそれぞれ $K_{1}, K_{2}, T$ とする．
$ω_{A}$ と $A B, A C, B C$ の接点をそれぞれ ${K_{1}}^{'}, {K_{2}}^{'}, E$ とする．

こんな感じの図になります．
定義した点

最終的にはもっと混線した図になります．
ごちゃごちゃした図

反転！

　ユークリッド平面に無限遠点 $P_{\infty}$ を付け加えます．
中心 $A$ ，半径 $\sqrt{A B \cdot A C}$ での反転を行う写像を $f_{1}$ ，直線 $A I$ での鏡映を行う写像を $f_{2}$ とすると， $f_{2} (f_{1} (B)) = C, f_{2} (f_{1} (C)) = B$ です．
　 $f_{1}$ と $f_{2}$ は大体一緒に使うので， $f_{2} (f_{1} (X))$ を $X^{⋆}$ と書くことにします．
また，集合 $Σ$ の像 $f_{2} [f_{1} [Σ]]$ $(= {X^{⋆} | X \in Σ})$ も $Σ^{⋆}$ と書きます．

${Ω_{A}}^{⋆} = ω_{A}$

$B^{⋆} = C, C^{⋆} = B$ より， $Γ = (A B C)$ は直線 $B C$ にうつる．
よって， ${Ω_{A}}^{⋆}$ は直線 $A C, A B, B C$ に，それぞれ ${K_{1}}^{⋆}, {K_{2}}^{⋆}, E$ で接する．
$Ω_{A}$ は $∠ B A C$ の内側に位置し，反転と鏡映でこれは変わらない．
$A K_{1} < A C$ より， $A B < {A K_{1}}^{⋆}$ であるから， ${Ω_{A}}^{⋆}$ は $△ A B C$ の外側に存在する．
したがって， ${Ω_{A}}^{⋆}$ は $△ A B C$ の $∠ A$ 内の傍接円．

命題 1

${K_{1}}^{⋆} = {K_{1}}^{'}$
${K_{2}}^{⋆} = {K_{2}}^{'}$
$T^{⋆} = E$

$I^{⋆} = I_{A}$

$∠ I f_{2} (C) I_{A} = ∠ I C I_{A} = ∠ I B I_{A} = 90^{\circ}$ より， $I, B, C, f_{2} (C), I_{A}$ は共円．
方べきの定理より， $A I \cdot A I_{A} = A B \cdot A f_{2} (C) = A B \cdot A C$ で， $A, I, I_{A}$ は共線であるから， $I^{⋆} = f_{2} (f_{1} (I)) = f_{2} (I_{A}) = I_{A}$

共線にして方べき

これを使って， $I$ が絡む共円性・共線性を示します．

$(a)$ $K_{1}, I, K_{2}$ は共線で，特に $K_{1}, I, K_{2}, P_{\infty}$ は調和点列．
$(b)$ $I, K_{2}, B, T$ は共円で，特に四角形 $I K_{2} B T$ は調和四角形．
$(c)$ $I, K_{1}, C, T$ は共円で，特に四角形 $I K_{1} C T$ は調和四角形．

$A {K_{1}}^{'} ⊥ {K_{1}}^{'} I_{A}, A {K_{2}}^{'} ⊥ {K_{2}}^{'} I_{A}$ であるから，
四角形 ${K_{1}}^{'} I_{A} {K_{2}}^{'} A,$ $I_{A} {K_{2}}^{'} C E,$ $I_{A} {K_{1}}^{'} C E$ は，それぞれ， $A I_{A},$ $B I_{A},$ $C I_{A}$ を直径とする円に内接する．
さらに，これらはそれぞれ外接円の直径を軸として対称であるから，調和四角形である．
よって，反転して $(a), (b), (c)$ が得られる．
直角による共円

直線 $T K_{1}, B I$ と円 $Γ$ は共点．
直線 $T K_{2}, C I$ と円 $Γ$ は共点．

共点性

直線 $B I$ と円 $Γ$ の交点の， $B$ でない方を $L_{B}$ とおく．
直線 $C I$ と円 $Γ$ の交点の， $C$ でない方を $L_{C}$ とおく．
点 $T$ を中心として， $Ω_{A}$ を $Γ$ にうつすような相似拡大で， $A B$ は $A B$ に平行な $Γ$ の接線に， $A C$ は $A C$ に平行な $Γ$ の接線にうつる．
これらは，それぞれ $L_{C}, L_{B}$ における $Γ$ の接線であるから，この相似拡大は， $K_{1}, K_{2}$ をそれぞれ $L_{B}, L_{C}$ にうつす．
したがって， $T, K_{1}, L_{B}$ は共線， $T, K_{2}, L_{C}$ は共線．