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混線内接円を反転

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はじめに

 curvilinear incircle の angle chase がややこしく,手順を忘れたり,頭が混線したりしたので,mixitilinear incircle (以下,「混線内接円」) のいくつかの性質を,反転で(curvilinear incircleなしに)示します.

準備

 混線内接円を定義します.

混線内接円

 ABCにおいて,半直線AB,ACに接し,ABCの外接円に内接する円を (A内の) 混線内接円という.

 今回の記事では,「P1,P2,,Pn の外接円」を(P1P2Pn)と略記します.

 必要な点と円を定義します.

基本的な点・円の名前

 ABCにおいて,

  • Γ: 外接円
  • ω: 内接円
  • ωA:A内の傍接円
  • ΩA:A内の混線内接円
  • I: 内心
  • IA : A内の傍心
    とする.
接点の名前
  • ΩAAC,AB,Γの接点をそれぞれK1,K2,Tとする.
  • ωAAB,AC,BCの接点をそれぞれK1,K2,Eとする.

こんな感じの図になります.
定義した点 定義した点

最終的にはもっと混線した図になります.
ごちゃごちゃした図 ごちゃごちゃした図

反転!

 ユークリッド平面に無限遠点Pを付け加えます.
中心A,半径ABAC での反転を行う写像をf1,直線AIでの鏡映を行う写像をf2とすると,f2(f1(B))=C,f2(f1(C))=Bです.
 f1f2は大体一緒に使うので,f2(f1(X))Xと書くことにします.
また,集合Σの像f2[f1[Σ]](={X|XΣ})Σと書きます.

ΩA=ωA

B=C,C=Bより,Γ=(ABC)は直線BCにうつる.
よって,ΩAは直線AC,AB,BCに,それぞれK1,K2,Eで接する.
ΩABACの内側に位置し,反転と鏡映でこれは変わらない.
AK1<ACより,AB<AK1であるから,ΩAABCの外側に存在する.
したがって,ΩAABCA内の傍接円.

命題 1

K1=K1
K2=K2
T=E

I=IA

If2(C)IA=ICIA=IBIA=90より,I,B,C,f2(C),IAは共円.
方べきの定理より,AIAIA=ABAf2(C)=ABACで,A,I,IAは共線であるから,I=f2(f1(I))=f2(IA)=IA

共線にして方べき 共線にして方べき

これを使って,Iが絡む共円性・共線性を示します.

(a) K1,I,K2は共線で,特にK1,I,K2,Pは調和点列.
(b) I,K2,B,Tは共円で,特に四角形IK2BTは調和四角形.
(c) I,K1,C,Tは共円で,特に四角形IK1CTは調和四角形.

AK1K1IA,AK2K2IAであるから,
四角形K1IAK2A,IAK2CE,IAK1CEは,それぞれ,AIA,BIA,CIAを直径とする円に内接する.
さらに,これらはそれぞれ外接円の直径を軸として対称であるから,調和四角形である.
よって,反転して(a),(b),(c)が得られる.
直角による共円 直角による共円

  • 直線TK1,BIと円Γは共点.
  • 直線TK2,CIと円Γは共点.

共点性 共点性

直線BIと円Γの交点の,Bでない方をLBとおく.
直線CIと円Γの交点の,Cでない方をLCとおく.
Tを中心として,ΩAΓにうつすような相似拡大で,ABABに平行なΓの接線に,ACACに平行なΓの接線にうつる.
これらは,それぞれLC,LBにおけるΓの接線であるから,この相似拡大は,K1,K2をそれぞれLB,LCにうつす.
したがって,T,K1,LBは共線,T,K2,LCは共線.

ALBTLCは調和四角形.

Aは,ΩAに関する,K1K2の極であるから,TAK2TK1T-symmedianである.
これを相似拡大すれば良い.

これを反転するとELBLCの中点であることもわかります.

最後に

これで混線内接円の基本的な性質はだいたい書けたんじゃないかな,と思います.この記事に書いていない性質も,反転を意識することで見通しが良くなるかもしれません.

投稿日:2023127
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