2013ISL.N6

出典は ここらへん .

考察とか

まずは解の予想から,定値とfloorとceilくらいですかね.まあなんでもいいか.
さて,定値でなかったら,$n\in \mathbb{Z}$に対して$f(n)=n$ですね.これはすぐに分かったので,特に説明せずに行きます.$P(x,a,1)$より,$f(x)+a\in \mathbb{Z}$に注意すると,
$$\begin{array}{}{P}_1(x,a)& f(x+a)=f(x)+a.\end{array}$$
$P_1(x,a)$を使えば,$P(x,a,b)$は
$$\begin{array}{}{P}_2(x,b)& f\left(\frac{f(x)}{b}\right)=f\left(\frac{x}{b}\right)\end{array}$$
となる.$P_1$から$(0,1)$の範囲だけみればいいですね.とりあえず,$\mathbb{Q}\ni r=\frac{q}{p}(p,q\in {\mathbb{Z}}_{>0},q<p,(q,p)=1)$とおいて,
$$f\left(\frac{q}{p}\right)=f(r)=c_r$$
で$c_r$を定める.$f(x)>0$なら,$P_2(x,f(x))$より,
$$f\left(\frac{x}{f(x)}\right)=1.$$
うげー,これは強そうだ.これで,$\frac{x}{f(x)}=r$とかとれればいいですね.$n\in \mathbb{Z}$に対して$\frac{n+r}{n+c_r}=r$とかは結構ありそうじゃないかな,$n$大きいと$1$になるだろうし.試してみる.
$$\frac{n+r}{n+c_r}=r⟹n+c_r=\frac{p{c}_r-q}{p-q}.$$
$\frac{p{c}_r-q}{p-q}\in {\mathbb{Z}}_{>0}$なのを考えると,$q=p-1$で$c_r⩾1$なら,$c_r=1$です.このやり方だと,$c_r⩽0$は結構きつそうです.$f(r-c_r)=0$を使いたいので,$P_2(r-c_r,b)$を考える.
$$f\left(\frac{r-c_r}{b}\right)=0$$
あー,$c_r⩽0$なら$r-c_r>0$だし,これは$q=1$にすれば,$b=1-p{c}_r\in {\mathbb{Z}}_{>0}$をとれば$c_r=0$が分かると.$\frac{1}{2}$のときはこのふたつが言える,つまり,$c_{1/2}\in \{0,1\}$が分かった.この先は,難しくないし解答に移ります(やればわかる).

解答

$f(x)=c,f(x)=\lfloor x\rfloor ,f(x)=\lceil x\rceil (c\in \mathbb{Z})$のみであることを示す.これらが$P$をみたすことは明らか.これ以外ないことを示す.また$f$が定値でないときを考える.

よって,$P(x,a,1)$より,
$$\begin{array}{}{P}_1(x,a)& f(x)+a=f(x+a).\end{array}$$
$P_1$を使うと,$P$は以下のように書ける.($x+a$を新たに$x$とおく.)
$$\begin{array}{}{P}_2(x,b)& f\left(\frac{f(x)}{b}\right)=f\left(\frac{x}{b}\right).\end{array}$$

したがって,$f(\frac{1}{2})=0$なら,$P_2(x,1)$と合わせると,$f(x)=\lfloor x\rfloor$が必要.

したがって,$f(\frac{1}{2})=1$なら,$P_2(x,1)$と合わせると,$f(x)=\lceil x\rceil$が必要.

まとめ

$\cdots \cap T_{n-1}\cap T_n$のうちの一つだけでも$0$にいくことがわかれば十分だったので,$\pm \frac{k}{2k+1}$とかに注目してもよかったです($P_2(\pm \frac{1}{2},b)$を見てください).冷静に見返してみると,$f(\frac{1}{2})$のところほぼ$P$ですよね.情報を分ければいいってわけじゃないんですね.