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高校数学解説
文献あり

極限の問題

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こんにちは.今日は,面白いと感じた極限の問題を紹介しようと思います.最後まで読んでいってください.

次の極限値を求めよ.
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\Bigl\{\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}-\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\Bigr\}}$

では,解いていきましょう.極限の中身を$f(n)$とおきます.

$\displaystyle{f(n)=\frac{(n+1)^{n+1}(n-1)^{n-1}-n^n\cdot n^n}{n^n(n-1)^{n-1}}}$

分母を少し変形すると

$\displaystyle{\frac{1}{n^n(n-1)^{n-1}}=\frac{1}{n^n\cdot n^{n-1}}\cdot \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n^{2n-1}}\Bigl(1+\frac{1}{n-1}\Bigr)^{n-1}}$

$\displaystyle{\therefore f(n)=\Bigl(1+\frac{1}{n-1}\Bigr)^{n-1}\frac{(n+1)^{n+1}(n-1)^{n-1}-n^{2n}}{n^{2n-1}}}$

それでは,右側の分数の分子を$g(n)$として変形していきます.

$\displaystyle{g(n)=(n+1)^2(n+1)^{n-1}(n-1)^{n-1}-n^{2n}}$

$\displaystyle{=(n+1)^2(n^2-1)^{n-1}-n^{2n}}$

$\displaystyle{=(n^2+2n+1)(n^2-1)^{n-1}-n^{2n}}$

$\displaystyle{=(n^2-1+2n+2)(n^2-1)^{n-1}-n^{2n}}$

$\displaystyle{=2n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}+(n^2-1)^n-n^{2n}}$

$\displaystyle{=2n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}-\{(n^2)^n-(n^2-1)^n\}}$

$\displaystyle{\therefore f(n)=\Bigl(1+\frac{1}{n-1}\Bigr)^{n-1}\frac{2n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}-\{(n^2)^n-(n^2-1)^n\}}{n^{2n-1}}}$

ここで

$\displaystyle{A_n=2n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{n^{2n-1}}}$

$\displaystyle{B_n=\frac{(n^2)^n-(n^2-1)^n}{n^{2n-1}}}$

とすれば,求める極限は

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n-1}\Bigr)^{n-1}\cdot(A_n-B_n)}$

になります.当然

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n-1}\Bigr)^{n-1}=e}$

です.次に

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}2n\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{n^{2n-1}}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}2\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)(n^2-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2(n-1)}}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}2\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigl)^{n-1}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n^2-1}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr)^n}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\Bigl(2+\frac{2}{n^2-1}\Bigr)\cdot1\cdot \Bigl\{\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr)^{n^2}\Bigr\}^{\frac{1}{n}}}$

$\displaystyle{=2\cdot1\cdot1=2}$

次に,$B_n$の極限を求めます.

$\displaystyle{B_n=\frac{(n^2)^n-(n^2-1)^n}{n^{2n-1}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n^2}(n^2-n^2+1)\sum_{k=0}^{n-1}(n^2)^{n-1-k}(n^2-1)^k}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n^{2n-1}}n^{2(n-1)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n^{2k}}(n^2-1)^k}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n^2-1)^k}{n^{2k}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr)^k}$

$\displaystyle{=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\varphi_n^k}$ (シグマの中身を$\varphi_n$としました)

$\displaystyle{=\frac{1}{n}(1+\varphi_n+\varphi_n^2+ \cdots +\varphi_n^{n-1})}$

ここで,$1>\varphi_n>\varphi_n^2>\cdots>\varphi_n^{n-1}>0$なので

$\displaystyle{\varphi_n^{n-1}<\frac{1}{n}(1+\varphi_n+\varphi_n^2+ \cdots +\varphi_n^{n-1})<1}$

$\displaystyle{\therefore \varphi_n^{n-1}< B_n<1}$

ここで

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\varphi_n^{n-1}=\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr)^{n-1}=1}$

ですから,挟み撃ちの原理より

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}B_n=1}$

よって,求める極限は

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\Bigl\{\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}-\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\Bigr\}=e(2-1)=e}$

となって答です.

最後まで読んでくれてありがとうございました.

参考文献

[1]
中村力, 微分積分, 森北出版株式会社
投稿日:2023129

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投稿者

木立
木立
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