3

微積分で円周率が3.13より大きいことを示す

158
0
$$$$

言わなくてもわかる某有名な問題(よりちょっと精度が高い)です。
$$ f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^2} $$
($0< x<\pi$)とおくと
$$ f'(x)=\frac{x^2\sin{x}-2x(1-\cos{x})}{(x^2)^2}=\frac{x\sin{x}+2\cos{x}-2}{x^3} $$
$g(x)=x\sin{x}+2\cos{x}-2$とおけば
$$ g'(x)=\sin{x}+x\cos{x}-2\sin{x}=x\cos{x}-\sin{x} $$
$$ g''(x)=\cos{x}-x\sin{x}-\cos{x}=-x\sin{x}<0 $$
$$ \lim_{x \to +0}g'(x)=0 $$
よって$g'(x)<0$
$$ \lim_{x \to +0}g(x)=0 $$
よって$g(x)<0$より、$f'(x)<0$
したがって$f(x)$は単調減少であり、実数$\alpha$に対して、$0< x<\alpha<\pi$ならば
$f(x)>f(α)$が成り立つ。
$\alpha=\frac\pi3$とすると
$$ \frac{1-\cos{x}}{x^2}>\frac{1-\frac12}{\left(\frac\pi3\right)^2} $$
よって$\cos{x}<1-\frac{\left(\frac{3}{\pi}x\right)^2}{2}$
各辺を$x$$0$から$\frac\pi6$まで積分すれば
$$ \int_0^{\frac\pi6}\cos{x}dx=\left[\sin{x}\right]_0^{\frac\pi6}=\frac12 $$
$$ \int_0^{\frac\pi6}\left\{1-\frac12\left(\frac3\pi{x}\right)^2\right\}dx=\left[x-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{x^3}6\right]_0^{\frac\pi6}=\frac\pi6-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{\left(\frac\pi6\right)^3}6=\frac{23}{144}\pi $$
よって
$$ \frac12<\frac{23}{144}\pi \Longleftrightarrow\pi>\frac{72}{23}=3.1304... $$
記事を読んでくださってありがとうございます。なんか表示がおかしくなってたのとやたらふざけてたんで直しました

投稿日:2023130

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

furumichi
furumichi
33
2948
数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中