ルートの評価をせずに円周率が3.13より大きいことを示す

なんか昔の僕がヘンなことを考えていたのでここに記しておきます。言わなくてもわかる某有名な問題（よりちょっと精度が高い）です。

$$ f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^2}(0< x<\pi)とおくと\\ f'(x)=\frac{x^2\sin{x}-2x(1-\cos{x})}{(x^2)^2}=\frac{x\sin{x}+2\cos{x}-2}{x^3}\\ g(x)=x\sin{x}+2\cos{x}-2とおけば\\ g'(x)=\sin{x}+x\cos{x}-2\sin{x}=x\cos{x}-\sin{x}\\ g''(x)=\cos{x}-x\sin{x}-\cos{x}=-x\sin{x}<0\\ \lim_{x\rightarrow+0}g'(x)=0\ ∴g'(x)<0\\ \lim_{x\rightarrow+0}g(x)=0\ ∴g(x)<0\\ よってf'(x)<0より、f(x)は単調減少だから、 実数αに対して、0< x<α<\piならば f(x)>f(α)が成り立つ。\\ α=\frac\pi3とすると\\ \frac{1-\cos{x}}{x^2}>\frac{1-\frac12}{\left(\frac\pi3\right)^2}\ ∴\cos{x}<1-\frac{\left(\frac3\pi{x}\right)^2}2\\ 各辺をxで0から\frac\pi6まで積分すれば\\ \int_0^{\frac\pi6}\cos{x}dx=\left[\sin{x}\right]_0^{\frac\pi6}=\frac12\\ \int_0^{\frac\pi6}\left\{1-\frac12\left(\frac3\pi{x}\right)^2\right\}dx=\left[x-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{x^3}6\right]_0^{\frac\pi6}=\frac\pi6-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{\left(\frac\pi6\right)^3}6=\frac{23}{144}\pi\\ ∴\frac12<\frac{23}{144}\pi \Longleftrightarrow\pi>\frac{72}{23}=3.1304... $$
正しいか正しくないかはあなた次第です。いつものことですけど需要ないかも。僕はルートの評価がどうしてもしたくなかったんですぅ。こんな記事を読んでくださってほんとありがとうございますぅ。