微積分で円周率が3.13より大きいことを示す

言わなくてもわかる某有名な問題（よりちょっと精度が高い）です。
$$f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$$
($0<x<\pi$)とおくと
$$f^{\prime }(x)=\frac{x^2\sin x-2x(1-\cos x)}{(x^2{)}^2}=\frac{x\sin x+2\cos x-2}{x^3}$$
$g(x)=x\sin x+2\cos x-2$とおけば
$$g^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x$$
$$g^{″}(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x<0$$
$$\underset{x\to +0}{lim}{g}^{\prime }(x)=0$$
よって$g^{\prime }(x)<0$
$$\underset{x\to +0}{lim}g(x)=0$$
よって$g(x)<0$より、$f^{\prime }(x)<0$
したがって$f(x)$は単調減少であり、実数$\alpha$に対して、$0<x<\alpha <\pi$ならば
$f(x)>f(\alpha )$が成り立つ。
$\alpha =\frac{\pi }{3}$とすると
$$\frac{1-\cos x}{x^2}>\frac{1-\frac{1}{2}}{{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^2}$$
よって$\cos x<1-\frac{{\left(\frac{3}{\pi }x\right)}^2}{2}$
各辺を$x$で$0$から$\frac{\pi }{6}$まで積分すれば
$${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\cos xdx={[\sin x]}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{2}$$
$${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\{1-\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{\pi }x\right)}^2\}dx={[x-{\left(\frac{3}{\pi }\right)}^2\frac{x^3}{6}]}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{6}-{\left(\frac{3}{\pi }\right)}^2\frac{{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^3}{6}=\frac{23}{144}\pi$$
よって
$$\frac{1}{2}<\frac{23}{144}\pi ⟺\pi >\frac{72}{23}=3.1304...$$
記事を読んでくださってありがとうございます。なんか表示がおかしくなってたのとやたらふざけてたんで直しました