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ルートの評価をせずに円周率が3.13より大きいことを示す

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なんか昔の僕がヘンなことを考えていたのでここに記しておきます。言わなくてもわかる某有名な問題(よりちょっと精度が高い)です。

$$ f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^2}(0< x<\pi)とおくと\\ f'(x)=\frac{x^2\sin{x}-2x(1-\cos{x})}{(x^2)^2}=\frac{x\sin{x}+2\cos{x}-2}{x^3}\\ g(x)=x\sin{x}+2\cos{x}-2とおけば\\ g'(x)=\sin{x}+x\cos{x}-2\sin{x}=x\cos{x}-\sin{x}\\ g''(x)=\cos{x}-x\sin{x}-\cos{x}=-x\sin{x}<0\\ \lim_{x\rightarrow+0}g'(x)=0\ ∴g'(x)<0\\ \lim_{x\rightarrow+0}g(x)=0\ ∴g(x)<0\\ よってf'(x)<0より、f(x)は単調減少だから、 実数αに対して、0< x<α<\piならば f(x)>f(α)が成り立つ。\\ α=\frac\pi3とすると\\ \frac{1-\cos{x}}{x^2}>\frac{1-\frac12}{\left(\frac\pi3\right)^2}\ ∴\cos{x}<1-\frac{\left(\frac3\pi{x}\right)^2}2\\ 各辺をxで0から\frac\pi6まで積分すれば\\ \int_0^{\frac\pi6}\cos{x}dx=\left[\sin{x}\right]_0^{\frac\pi6}=\frac12\\ \int_0^{\frac\pi6}\left\{1-\frac12\left(\frac3\pi{x}\right)^2\right\}dx=\left[x-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{x^3}6\right]_0^{\frac\pi6}=\frac\pi6-\left(\frac3\pi\right)^2\frac{\left(\frac\pi6\right)^3}6=\frac{23}{144}\pi\\ ∴\frac12<\frac{23}{144}\pi \Longleftrightarrow\pi>\frac{72}{23}=3.1304... $$
正しいか正しくないかはあなた次第です。いつものことですけど需要ないかも。僕はルートの評価がどうしてもしたくなかったんですぅ。こんな記事を読んでくださってほんとありがとうございますぅ。

投稿日:130
更新日:130

投稿者

数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

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数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。