今回は過去に作った数学の問題の一部をまとめてみました.とりあえず,20問です!
・難易度:★☆☆☆☆〜★★★★★までの五段階評価になっています.(高難易度の問題はストックしてあったりするので少ないです...)
・出題範囲:データの分析などを除く数学Ⅲ以前の知識に加え,グラフ理論などやや発展的な内容も必要になります.(ただし,ほとんどが数学ⅡB以前の知識で解けます)
・解答:解答は一部労力削減のために,「有名事実より」などと書くことがあります。全体的に行間が広いかもしれませんが,ご了承ください.わからないところがありましたら,TwitterのDMかコメント欄にて質問していただければ解答します.
よって,
放物線
有名事実より,
簡単な角度計算により,示すべきことは直線
MMPs002
MMPs002
以下の式を整数係数の範囲で因数分解せよ.
この方程式に
右辺の
正実数
両辺を三乗すると,
等号成立は,
が成立する.これを整理すると,
この時,全ての不等号について等号成立条件は
正実数
不等号の等号成立条件は全て一致しているため題意は示された.
である.ここで
(約数に持つことは因数分解を考えればわかります.これは項を
ただし,最後の変形に関しては階乗進法の一意性を用いた.
円
難易度に関して悩みました.初等的に解こうとすると難易度は高くなってしまいますが,複素では簡単に解けるのでここでは簡単な解法に合わせる方針で行きます.
方針:うまく三点
となるようにうまく座標を定める.このとき
が得られる.
となる.ここで,
が成り立つので
MMPs008
四角形
複素平面上に
が成り立つことと同値である.したがって,
が成り立つことと同値である.したがって,
となって,三角不等式より
したがって,題意は示された.
MMPs011-1
MMPs011-2
連続する素数
三角形
正整数に対して定義され,非負整数値をとる関数
実数に対して定義され実数値をとる関数
ここで,円を
扇型を
条件より,
帰納法を用いて
(i)
(ii)
よって,
(これは
任意の正整数
三角形
MMPs020