n=1を確認する必要はない（その１）

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いきなり一般論から入っても、理解しにくいと思うので、簡単な例から入る。

階差数列の一般項

以下の条件を満たす数列 $a_{n}$ の一般項を求めよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n} \\ a_{1} = 5 / 2 \end{cases} \end{array}$

従来法で解くと、以下のようになる。

階差数列の公式より
$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) (n ≧ 2)$
なので、代入して解くと
$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 3^{k} (n ≧ 2) \\ = & \frac{5}{2} + (初項 3 公比 3 項数 n - 1 の等比数列の和) (n ≧ 2) \\ = & \frac{5}{2} + \frac{3 (3^{n - 1} - 1)}{3 - 1} (n ≧ 2) \\ = & \frac{3^{n}}{2} + 1 (n ≧ 2) \end{array}$
ここで、 $n = 1$ のときに成り立つか代入して確認すると
$a_{1} = \frac{3^{1}}{2} + 1 = \frac{5}{2}$
以上より $a_{1}$ のときも成立するので、
$a_{n} = \frac{3^{n}}{2} + 1 ◼$

今回のテーマは、赤字部分の「 $n = 1$ のときだけ代入して具体的に確認する」を回避するというものである。
次のような解法を用いることで、回避することができる。

任意の自然数 $n$ に対して、以下が成り立つ。
$3^{n} = \frac{3^{n + 1}}{2} - \frac{3^{n}}{2}$
これを $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}$ に代入すると、
$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{3^{n + 1}}{2} - \frac{3^{n}}{2} a_{n + 1} - \frac{3^{n + 1}}{2} = a_{n} - \frac{3^{n}}{2}$
よって
$a_{n} - \frac{3^{n}}{2} = a_{n - 1} - \frac{3^{n - 1}}{2} = \dots = a_{1} - \frac{3^{1}}{2} a_{n} - \frac{3^{n}}{2} = a_{1} - \frac{3}{2}$
これに $a_{1} = 5 / 2$ を代入して整理すると、
$a_{n} = \frac{3^{n}}{2} + 1 ◼$

記述の量としては、大きな差があるわけではないが、 $n = 1$ を仲間外れせずに解くことができる。
このような方法で解くためには、以下の２つ条件が要求される。
１）階差数列 $a_{n + 1} - a_{n} = f (n)$ を構成すること
２） $f (n) = g (n + 1) - g (n)$ となる $g (n)$ を求めること
種々の条件を階差数列に落としこむ方法や、 $g (n)$ を求める方法については、引き続き考察の対象となる。
最後に、一般論を示して終わりとする。

数列の和

全ての自然数 $n$ において、以下が成り立つとき
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{n + 1} - a_{n} = f (n) \\ f (n) = g (n + 1) - g (n) \end{cases} \end{array}$
数列の和を以下のように求めることができる。
$a_{n + 1} - a_{n} = g (n + 1) - g (n)$
$\begin{array}{rcl} a_{n + 1} - g (n + 1) & = & a_{n} - g (n) \\ = & a_{n - 1} - g (n - 1) \\ = & \dots \\ = & a_{1} - g (1) \end{array}$
$a_{n} = a_{1} + g (n) - g (1) ◼$

修正履歴
2023/07/17 01:23 書式の乱れを修正

投稿日：2023年2月11日

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