n倍角の公式とマクローリン展開

導入

三角函数に関する$2$つの有名な式:

• $\sin$の$3$倍角の公式　$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$
• $\sin$の極限公式　$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$

を使うと、次の式が得られます。
$$\lim_{x\to0}\frac{3\sin x-\sin3x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{4\sin^3x}{x^3}=4\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\right)^3=4$$
ここで$x\fallingdotseq0$における近似式$\sin x\fallingdotseq x$を考えると、上記の極限は$$\frac{3\sin x-\sin3x}{x^3}\fallingdotseq\frac{3x-3x}{x^3}=0$$となってしまい、$4$が出てきません。これは$\sin x\fallingdotseq x$という近似が雑すぎたことが原因です。この記事ではどうすればより良い近似ができるかを考え、最終的に$\sin$および$\cos$のマクローリン展開を導くことを目指します(なお実際に導くのは第$3$項までです)。

記号と定理の準備

計算する前にいくつか準備をします。

$f(x)=O(g(x))$や$f(x)=o(g(x))$は$f(x)$が$O(g(x))$あるいは$o(g(x))$に等しいという意味ではなく、あくまで$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$が収束する、あるいは$0$に収束するという意味であることに注意しましょう。また、この定義では$x\to0$に限定していますが、$x\to\infty$などでもランダウの記号は同様に定義されます。なので本来は$$f(x)=O(g(x))\quad(\text{as }x\to0)$$のように書くべきなのですが、今回は主に$x\to0$の極限を考えるので単に$f(x)=O(g(x)),$ $f(x)=o(g(x))$と表記します。
余談ですが、ランダウの記号に使う$O$および$o$は本来、英文字のオー(O,o)ではなくギリシャ文字のオミクロン(Ο,ο)です。しかし$\TeX$ではギリシャ文字の中でも同じ形の英文字が存在するものについてはコマンドが用意されていないので、英文字の$O,o$で代用することになっています。
この記事では、$f(x)=O(g(x))$であって$f(x)=o(g(x))$でないことを指して「$f(x)$は$g(x)$オーダーである」と表現します。$g(x)$オーダーである函数は、$x=0$付近において$g(x)$の($0$でない)定数倍で近似できます。

次に、ある函数が$x$の何乗オーダーであるか判定するために有用な定理を示します。

証明にはライプニッツの微分法則$$(f(x)g(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^n{}_nC_kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$
を使用します。

$\sin$のマクローリン展開

さて、$\sin x\fallingdotseq x$は前節の言葉を使って言えば$\sin x=O(x)$ということですが、$x\fallingdotseq0$におけるより精密な近似式では$\sin x=x+ax^n\;(1< n)$のようになるべきです。ではこの$n$はいくつでしょうか。$\sin x-x$が$x$の何乗オーダーか考えればよいわけですから、$f(x)=\sin x-x$について定理1を適用します。
$$f(0)=\sin0-0=0$$
$$f'(x)=\cos x-1\quad\therefore f'(0)=0$$
$$f''(x)=-\sin x\quad\therefore f''(0)=0$$
$$f'''(x)=-\cos x\quad\therefore f'''(0)=-1\neq0$$
よって、$\sin x-x=O(x^3)$です。つまり極限値$a=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$が存在し、この$a$を用いて$\sin x\fallingdotseq x+ax^3$と書けます。では、冒頭で示した等式を用いて$a$を求めましょう。
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{27x^3}$$
が成り立つので、
\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{3\sin x-\sin3x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\left(\frac{3\sin x-3x}{x^3}-\frac{\sin3x-3x}{x^3}\right)\\ &=3\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}-27\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{27x^3}\\ &=3a-27a=-24a=4 \end{align*}
よって$a=-\dfrac16$が分かりました。ここまでは$3$倍角の公式によって導かれるものを考えました。次は$5$倍角の公式を見てみましょう。
$$\sin5x=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x=16\sin^5 x+5\sin3x-10\sin x$$
を使うと、
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-5\sin3x+10\sin x}{x^5}=\lim_{x\to0}\frac{16\sin^5x}{x^5}=16$$
が得られます。ここで、$g(x)=\sin x-x+\dfrac16x^3$とすれば
$$g(0)=\sin0-0+\frac16\cdot0^3=0$$
$$g^{(1)}(x)=\cos x-1+\frac12x^2\quad\therefore g^{(1)}(0)=0$$
$$g^{(2)}(x)=-\sin x+x\quad\therefore g^{(2)}(0)=0$$
$$g^{(3)}(x)=-\cos x+1\quad\therefore g^{(3)}(0)=0$$
$$g^{(4)}(x)=\sin x\quad\therefore g^{(4)}(0)=0$$
$$g^{(5)}(x)=\cos x\quad\therefore g^{(5)}(0)=1\neq0$$
より$\sin x-x+\dfrac16x^3=O(x^5)$が分かるので、$b=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x+\frac16x^3}{x^5}$とおきます。このとき
\begin{align*} &\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-5\sin3x+10\sin x}{x^5}\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin5x-5x+\frac{125}6x^3}{x^5}-\frac{5\sin3x-15x+\frac{135}6x^3}{x^5}+\frac{10\sin x-10x+\frac{10}6x^3}{x^5}\right)\\ &=3125b-1215b+10b=1920b=16 \end{align*}
したがって$b=\dfrac1{120}$です。このような操作を続けることにより$\sin x$の近似精度をどんどん高めることができますが、そのためには$n$倍角の公式を作り、上記のような桁数の多い足し算・引き算を繰り返さねばなりません。実際には
\begin{align*} \sin x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5-\frac1{5040}x^7+\frac1{362880}x^9-\cdots \end{align*}
であることが知られています。

$\cos$のマクローリン展開

$\cos$のマクローリン展開を求める方法は$\sin$のそれよりも少し複雑です。というのも、$\sin$のマクローリン展開の導出において$n$倍角の公式と共に中核をなしていたのは$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ですが、単に$\cos nx$を$\cos x$の多項式で書くとこれを利用できません。したがって適切に$\sin$を使うか$\cos$を使うか決定しなけばなりません。
さて、$\cos$の$2$倍角の公式は
$$\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$$
ですが、これを使うと
$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}=2$$
即ち
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cos2x-1}{4x^2}=-\frac12$$
が分かります。よって$x\fallingdotseq0$における近似式$\cos x\fallingdotseq1-\dfrac12x^2$が得られます。続いて、$\cos$の$4$倍角の公式は
\begin{align*} \cos4x&=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\ &=8(1-\sin^2x)^2-8(1-\sin^2x)+1\\ &=8\sin^4x-8\sin^2x+1\\ &=8\sin^4x+4\cos2x-3 \end{align*}
ですので
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos4x-4\cos2x+3}{x^4}=8$$
が成り立ちます。また、$f(x)=\cos x-1+\dfrac12x^2$とおけば
$$f(0)=\cos0-1+\frac12\cdot0^2=0$$
$$f^{(1)}(x)=-\sin x+x\quad\therefore f^{(1)}(0)=0$$
$$f^{(2)}(x)=-cos x+1\quad\therefore f^{(2)}(0)=0$$
$$f^{(3)}(x)=\sin x\quad\therefore f^{(3)}(0)=0$$
$$f^{(4)}(x)=\cos x\quad\therefore f^{(4)}(0)=1\neq0$$
なので$\cos x-1+\dfrac12x^2=O(x^4)$ですから、$a=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1+\frac12x^2}{x^4}$とおけます。あとは$\sin$の場合と同様に
\begin{align*} &\quad\lim_{x\to0}\frac{\cos4x-4\cos2x+3}{x^4}\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos4x-1+8x^2}{x^4}-\frac{4\cos2x-4+8x^2}{x^4}\right)\\ &=256a-64a=192a=8 \end{align*}
と求められます。以上で$\cos$の$4$次近似式
$$\cos x\fallingdotseq1-\dfrac12x^2+\dfrac1{24}x^4$$
が得られました。なお、$\cos$のマクローリン展開は
\begin{align*} \cos x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\frac1{720}x^6+\frac1{40320}x^8-\cdots \end{align*}
であることが知られています。

まとめ

$\sin$および$\cos$のマクローリン展開を、部分的ではありますが求めることができました。高校範囲でこの方法よりも計算量が少ない方法も沢山あるので実用的とは言えませんが、個人的には使いどころが少なめという印象のある$n$倍角の公式をマクローリン展開に応用できる点が面白いと思いました。ふと思いついたことを書き綴ったので読みづらい点などあったかもしれませんが、読んでくださりありがとうございました。

おまけ

$n$倍角の公式からマクローリン展開を導けるなら、逆にマクローリン展開から$n$倍角の公式を導けないでしょうか？試しに計算してみましょう。
といっても無から作るのは難しそうなので、$\sin3x=a\sin x+b\sin^3x$の$a,b$を決定することを目標にします。ただし、$a\neq0$を仮定しておきます。
少々雑な議論になりますが、$\sin$のマクローリン展開から得られる近似式$\sin x\fallingdotseq x-\dfrac16x^3$より
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac16$$
です。ここで、$\sin x=\dfrac{\sin3x-b\sin^3x}a$より
\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-b\sin^3x-ax}{ax^3}\\ &=\frac{27}a\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-ax}{(3x)^3}-\frac ba\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\right)^3 \end{align*}
ですが、$a=3$でないと第$1$項が収束しません。$a=3$を代入して計算を進めると
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=9\cdot\frac16-\frac b3=\frac16$$
したがって、$b=4$です。普通にド・モアブルの定理を使ったり$\sin(2x+x)$に加法定理を使ったりした方が楽な気がしますが、もう少し続けてみましょう。
$\sin5x=a\sin x+b\sin^3x+c\sin^5x$ $(a\neq0)$とおきます。$\sin x\fallingdotseq x-\dfrac16x^3+\dfrac1{120}x^5$から
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x+\frac16x^3}{x^5}=\frac1{120}$$
で、$\sin x=\dfrac{\sin5x-b\sin^3x-c\sin^5x}a$より
\begin{align*} &\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x+\frac16x^3}{x^5}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-b\sin^3x-c\sin^5x-ax+\frac a6x^3}{ax^5}\\ &=\frac1a\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-ax+\frac a6x^3-b\sin^3x}{x^5}-\frac ca\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\right)^5 \end{align*}
ここで、$\sin^3x\fallingdotseq\left(x-\dfrac16x^3\right)^3\fallingdotseq x^3-\dfrac12x^5$を使います。これは$o(x^5)$の部分を切り落とした評価です。
\begin{align*} &\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x+\frac16x^3}{x^5}\\ &=\frac1a\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-ax+\frac a6x^3-bx^3+\frac b2x^5}{x^5}+\frac ca\\ &=\frac{3125}a\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-ax+(\frac a6-b)x^3}{(5x)^5}+\frac{b-2c}{2a} \end{align*}
よって$a=5,$ $\dfrac a6-b=\dfrac{125}6,$ $\dfrac{3125}a\cdot\dfrac1{120}+\dfrac{b-2c}{2a}=\dfrac1{120}$から、$5$倍角の公式
$$\sin5x=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x$$
が得られます。やはり実用的ではないですね。