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sin1, sin2, sin3, sin4の大小比較

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問題

有名問題

sin1,sin2,sin3,sin4の大小を比較せよ。

1 2の …… ポカン!

Nayutaさんは 三角関数の つかいかたを きれいに わすれた!
「で、sinって何だ?」

解答の方針


sinを知らないと何もできないので、これだけ吹き込んでおきます。あとはNayutaさんが全てを再構築してくれるはずです。

オイラーの公式

任意の実数θに対し、
eiθ=cosθ+isinθ
が成り立つ。

「なんか思い出したけど・・・これ定義じゃなくて公式だよな・・・まあできる範囲でやってみるか」
「とりあえずθ1から4まで代入すれば問題の値を含む式は出てきそうだ」
ei=cos1+isin1
e2i=cos2+isin2
e3i=cos3+isin3
e4i=cos4+isin4
「これらの関係性を見たいが・・・ん、左辺に指数法則が使えそうだ」
cos2+isin2=(cos1+isin1)2=(cos1)2+2icos1sin1+i2(sin1)2=((cos1)2(sin1)2)+(2cos1sin1)i
sin2=2cos1sin1
「ということは2cos11の大小関係、つまりcos112との関係がわかればいいのか」
「こうなったらマクローリン展開や!マクローリン展開はかわいい!かわいいは正義!よってマクローリン展開は正義!」
eix=cosx+isinx
の両辺をxで微分すると
ieix=(cosx)+i(sinx)であるが、この左辺はsinx+icosxに等しいので実部を虚部を比較して
(cosx)=sinx,(sinx)=cosx
を得る。
4回微分したら元に戻るのか、これは面白い」
e0=1つまりcos0=1,sin0=1だから級数展開はこうなりそうだが、誤差項をどう評価しよう」
cosx=x00!x22!+x44!
sinx=x11!x33!+x55!
cosx1がいえればよさそうだが、どうやって示そう」
cosxeixの虚部だから、|eix|1を示せばよさそうだが・・・どうやって?」
eixx=aでの微分係数はieiaだから・・・値が微分係数と直交してるの何かに使えないかな」

(cosx)2+(sinx)2=1を示す

実数xに関する関数eixについて、その絶対値は常に1である。

証明: f(x)=eixとおき、x=αでの微分係数を考える。z=eiαとする。
また、g(x)=|eix|とする。
x=αでの微分係数はizであるから、任意の正の実数ϵに対しある正の実数δが存在して
|f(α+δ)f(α)δiz|<ϵ
すなわち
|f(α+δ)zizδ|<δϵ
が成り立つ。また、δは十分小さく取れるので、0<δ<ϵ3と仮定してよい。

このとき、|f(α+δ)z|は底辺が|z|で高さが|z|δの直角三角形の斜辺の長さであるため、
δϵ<|f(α+δ)||z|1+δ2<δϵ
である。
δ<1の場合を考える。
このとき、
|z|(1+δ21)+δϵδ<|z|(1+(δ/ϵ)21)+δϵδ<|z|((1+(δ/ϵ)2)1)+δϵδ=|z|δ2/ϵ2+δϵδ=|z|δ/ϵ2+ϵ<|z|ϵ+ϵ
よって、任意の0<ϵ<1に対して、g(x)<|z|ϵ+ϵが成り立つ。
すなわち、g(x)=0が成り立つ。
g(0)=|f(0)|=|1|=1なので、g(x)は恒等的に1である。(Q.E.D.)
「よし、あとは勝ったも同然だ」

cossinを多項式近似する

任意の0以上の整数nと実数x0に対して、
k=02n+1(1)kx2k(2k)!cosxk=02n(1)kx2k(2k)!
が成り立つ。

証明:
2nまたは2n+1mとおくことで、これらの不等式は
(1)mcosx(1)mk=0m(1)kx2k(2k)!
とまとめられる。右辺の(1)mより右の部分をfm(x)とすると、任意の自然数m1に対して
d2dx2fm(x)=d2dx2k=0m(1)kx2k(2k)!=d2dx2(1+k=1m(1)kx2k(2k)!)=d2dx2k=1m(1)kx2k(2k)!=k=1md2dx2(1)kx2k(2k)!=k=1m(1)k(2k)(2k1)x2k2(2k)!=k=1m(1)kx2k2(2k2)!=k=0m1(1)kx2k(2k)!=fm1(x)
が成り立つ。
これを利用し、数学的帰納法で(1)mcosx(1)mfm(x)を示す。
(i) m=0のとき
(左辺)=cosx,(右辺)=1であるが、これは|eix|=1から即座に従う。
(ii) m=kで成り立つと仮定してm=k+1のとき
gm(x)=(1)mfm(x)(1)mcosxとおく。このとき、
d2dx2 gm(x)=(1)m+1fm1(x)(1)m+1cosx=gm1(x)
であるから、帰納法の仮定よりx0d2dx2 gm(x)0である。また、fm(x)が偶関数であることとddxcosx=sinxから、ddxgm(x)|x=0=0であり、したがってx0ddxgm(x)0である。さらに、gm(0)=0なのでgm(0)x0で単調増加なのでgm(x)0がわかる。
よってm=k+1でも成り立つことが示されたので、数学的帰納法により定理3が示された。(Q.E.D.)

任意の0以上の整数nと実数x0に対して、
k=02n+1(1)kx2k+1(2k+1)!sinxk=02n(1)kx2k+1(2k+1)!
が成り立つ。

証明: 定理3のxtと置き、両辺を0からxまでtで積分することで得られる。

さあ、あとは計算だ!


「このままsin4を計算してもいいが、7次の項ですら分子の47=16384に対し分母が5040なのは小さすぎる。指数法則を使って工夫しよう」
sin2=2cos1sin1はもう示したから、sin3sin4も同じようにcos1sin1で表せば精度が出るはず」
cos3+isin3=(cos3+isin3)3=(cos1)3+3i(cos1)2sin1+3i2cos1(sin1)2+i3(sin1)3=((cos1)33cos1(sin1)2)+(3(cos1)2sin1(sin1)3)i=(4(cos1)33cos1)+(3sin14(sin1)3)i
sin3=3sin14(sin1)3
cos4+isin4=(cos4+isin4)4=(cos1)4+4i(cos1)3sin1+6i2(cos1)2(sin1)2+4i3cos1(sin1)3+i4(sin1)4=((cos1)46(cos1)2(sin1)2+(sin1)4)+(4(cos1)3sin14cos1(sin1)3)i=(8(cos1)48cos12+1)+(4cos1sin18cos1(sin1)3)i
sin4=4cos1sin18cos1(sin1)3
「さあ、あとは計算だ!」
定理3系1にn=1,x=1を代入することで
56=116<sin1<116+1120=56+1120
がわかる。また、定理3にn=2,x=1を代入することで
13241720=112+1241720<cos1<112+124=1324
がわかる。
無駄な大小比較を避けるために、近似による簡単な比較を行う。
sin156,cos11324
なので
sin22561324=6572
sin33564(56)3=40216
sin4413245681324(56)3=260361041252463=36402463
そのためsin4<sin3 <sin1<sin2と予想できるので、これを証明する。
sin1<56+1120<56+142=67
sin2=2cos2sin2>256(13241720) =65721432>6472=89
sin3=3sin14(sin1)3<3(56+1120)4(56)3=156+14012554=1054+140<1854=29
sin3=3sin14(sin1)3>3564(56+1120)3=1564(125216+325361120+35611202+11203)=1564(125216+75361120+1561620120+1(620)3)>1564(2136+136+1/12036+1/(6203)36)>90368436436136136=0
sin4=4cos1sin18cos1(sin1)3=4cos1sin1(12sin1)<4cos1sin1(1256)<0
よって
sin4<0<sin3<29<56<sin1<67<89<sin2
すなわち
sin4<sin3 <sin1<sin2
がわかる。

エピローグ


「オイラーの公式しか知らないけどなんか解けた。さぁ~て、ここからどんな発展をしようかな~」
Nayutaさんは今日も平和です。

投稿日:202441
更新日:202441
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