三角数で遊ぼう

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問題の意味より、適当な自然数$x,y,z\in \mathbb{N}$を選ぶことで下記の式を成り立つようにできたとして話を進め、最後に$x,y,z$を求める。
$${\mathrm{\Delta }}_x+{\mathrm{\Delta }}_y={\mathrm{\Delta }}_z$$
[1]式を扱いやすく変形する：
与えられた式は下記の式と等価。
$$\begin{array}{r}\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}=\frac{z(z+1)}{2}\end{array}$$
この式の両辺に$8$をかけ、その後、両辺に2を足すことで下記の式を得る。
$$(2x+1{)}^2+(2y+1{)}^2=(2z+1{)}^2+1^2$$
そこで、以下の様に記号を定めると次の様に書き直せる。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}X=2x+1\\ Y=2y+1\\ Z=2z+1\\ W=1\end{array}\end{array}$$
$$X^2+Y^2=Z^2+W^2$$
[2]恒等式：
任意の整数$a,b,c,d$に対して下記の恒等式が成り立つ。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(ab-cd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)\\ (ab+cd{)}^2+(ad-bc{)}^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)\end{array}\end{array}$$

*これは直接計算で簡単に示せる。

この式から次の式を得る。
$$(ab-cd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(ab+cd{)}^2+(ad-bc{)}^2$$
[3]条件特定
ゆえに、整数$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$を次の様に定めることができればこの問題の回答は終了する。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}X=ab-cd\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ Y=ad+bc\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ Z=ab+cd\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ W=ad-bc=1\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})\end{array}\end{array}$$
[4]具体的に求める
とりあえず、上記条件を満たす整数$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$を求めれば次の様にして具体的に$x,y,z$が求まる。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=\frac{ab-cd-1}{2}\\ y=\frac{ad+bc-1}{2}\\ z=\frac{ab+cd-1}{2}\end{array}\end{array}$$
そこでとりあえず、$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$としてみると、
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}X=3\cdot 2-1\cdot 1\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ Y=3\cdot 1+2\cdot 1\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ Z=3\cdot 2+1\cdot 1\equiv 1(\mathrm{mod}2)\end{array}\end{array}$$
以上より$a=3,b=2,c=1,d=1$は特定した条件を満たす。ゆえに、以下の結果を得る。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=\frac{3\cdot 2-1\cdot 1-1}{2}=2\\ y=\frac{3\cdot 1+2\cdot 1-1}{2}=2\\ z=\frac{3\cdot 2+1\cdot 1-1}{2}=3\end{array}\end{array}$$
[5]実際に検証
$${\mathrm{\Delta }}_2+{\mathrm{\Delta }}_2=6={\mathrm{\Delta }}_3$$
$◼$

[1]下処理
$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)(\mathrm{mod}2)$を用いる。
$$\begin{array}{r}{A}^2\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E(\mathrm{mod}2)\end{array}$$
[2]行列計算
前問題の解答と[1]より$A^1,A^3,A^5,...$だけを考えればよい。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\\ A^2=\left(\begin{array}{cc}11& 8\\ 4& 3\end{array}\right)\\ A^3=\left(\begin{array}{cc}41& 30\\ 15& 11\end{array}\right)\\ A^4=\left(\begin{array}{cc}153& 112\\ 56& 41\end{array}\right)\\ A^5=\left(\begin{array}{cc}571& 418\\ 209& 153\end{array}\right)\\ ⋮\end{array}\end{array}$$
[3]具体的に求める（$A^3$を用いる場合）
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=\frac{41\cdot 30-15\cdot 11-1}{2}=532\\ y=\frac{41\cdot 11+30\cdot 15-1}{2}=450\\ z=\frac{41\cdot 30+15\cdot 11-}{2}=697\end{array}\end{array}$$
つまり
$${\mathrm{\Delta }}_{532}+{\mathrm{\Delta }}_{450}=243253={\mathrm{\Delta }}_{697}$$
$A^5,A^7,...$を用いる場合も同様にして計算できる。$◼$