んちゃ!
今回は三角数で一発芸をして遊ぶよ!
すっごーく短いから睡眠導入剤としてお勧めだよ!
端折りまくっているから、分からなかったら聞いてください。
下記の様に点を正三角形状に並べたとき点の個数を三角数という。
行数の数が$n$の時の三角数を$\Delta_{n}$、また特に$n$に拘らないときは$\Delta$と表記する。
● | ||||
● | ● | |||
● | ● | ● |
任意の自然数$n\in\mathbb{N}$に対して以下の事実が成り立つ。
\begin{equation}
\Delta_{n}=\frac{n(n+1)}{2}
\end{equation}
今回のメインディッシュはこの問題
$\Delta+\Delta=\Delta$が成り立つような三角数を具体的に見つけよ!
つまり、適切な自然数$x,y,z$を定めることで下記の式が成り立つようにする問題です。\begin{equation}\Delta_{x}+\Delta_{y}=\Delta_{z}\end{equation}
[0]
問題の意味より、適当な自然数$x,y,z\in\mathbb{N}$を選ぶことで下記の式を成り立つようにできたとして話を進め、最後に$x,y,z$を求める。
\begin{equation}
\Delta_{x}+\Delta_{y}=\Delta_{z}
\end{equation}
[1]式を扱いやすく変形する:
与えられた式は下記の式と等価。
\begin{eqnarray}
\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}=\frac{z(z+1)}{2}
\end{eqnarray}
この式の両辺に$8$をかけ、その後、両辺に2を足すことで下記の式を得る。
\begin{equation}
(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}=(2z+1)^{2}+1^{2}
\end{equation}
そこで、以下の様に記号を定めると次の様に書き直せる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X=2x+1\\
Y=2y+1\\
Z=2z+1\\
W=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{equation}
X^{2}+Y^{2}=Z^{2}+W^{2}
\end{equation}
[2]恒等式:
任意の整数$a,b,c,d$に対して下記の恒等式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(ab-cd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})\\
(ab+cd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
*これは直接計算で簡単に示せる。
この式から次の式を得る。
\begin{equation}
(ab-cd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ab+cd)^{2}+(ad-bc)^{2}
\end{equation}
[3]条件特定
ゆえに、整数$a,b,c,d\in\mathbb{Z}$を次の様に定めることができればこの問題の回答は終了する。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X=ab-cd\equiv 1\quad (\mod\ 2)\\
Y=ad+bc\equiv 1\quad (\mod\ 2)\\
Z=ab+cd\equiv 1\quad (\mod\ 2)\\
W=ad-bc=1\Rightarrow\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\ SL_{2}(\mathbb{Z})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[4]具体的に求める
とりあえず、上記条件を満たす整数$a,b,c,d\in\mathbb{Z}$を求めれば次の様にして具体的に$x,y,z$が求まる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\frac{ab-cd-1}{2}\\
y=\frac{ad+bc-1}{2}\\
z=\frac{ab+cd-1}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
そこでとりあえず、$A=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}\in SL_{2}(\mathbb{Z})$としてみると、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X=3\cdot 2-1\cdot 1\equiv1\quad (\mod\ 2)\\
Y=3\cdot 1+2\cdot 1\equiv1\quad (\mod\ 2)\\
Z=3\cdot 2+1\cdot 1\equiv1\quad (\mod\ 2)\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
以上より$a=3,b=2,c=1,d=1$は特定した条件を満たす。ゆえに、以下の結果を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\frac{3\cdot 2-1\cdot 1-1}{2}=2\\
y=\frac{3\cdot 1+2\cdot 1-1}{2}=2\\
z=\frac{3\cdot 2+1\cdot 1-1}{2}=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[5]実際に検証
\begin{equation}
\Delta_{2}+\Delta_{2}=6=\Delta_{3}
\end{equation}
$\blacksquare$
上記の問題で$A=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}\in SL_{2}(\mathbb{Z})$を利用して$\Delta+\Delta=\Delta$を満たす別解を求めよ。
[1]下処理
$A=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\quad(\mod\ 2)$を用いる。
\begin{eqnarray}
A^{2}\equiv\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=E\quad(\mod\ 2)
\end{eqnarray}
[2]行列計算
前問題の解答と[1]より$A^{1},A^{3},A^{5},...$だけを考えればよい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}\\
A^{2}=\begin{pmatrix}11&8\\ 4&3\end{pmatrix}\\
A^{3}=\begin{pmatrix}41&30\\ 15&11\end{pmatrix}\\
A^{4}=\begin{pmatrix}153&112\\ 56&41\end{pmatrix}\\
A^{5}=\begin{pmatrix}571&418\\ 209&153\end{pmatrix}\\
\vdots
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[3]具体的に求める($A^{3}$を用いる場合)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\frac{41\cdot 30-15\cdot 11-1}{2}=532\\
y=\frac{41\cdot 11+30\cdot 15-1}{2}=450\\
z=\frac{41\cdot 30+15\cdot 11-}{2}=697
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
つまり
\begin{equation}
\Delta_{532}+\Delta_{450}=243253=\Delta_{697}
\end{equation}
$A^{5},A^{7},...$を用いる場合も同様にして計算できる。$\blacksquare$