楕円曲線暗号の解き方その2、その3、その4（オリジナル）

楕円曲線暗号の解き方その2、その3、その4（オリジナル）

楕円曲線暗号の解き方その2

$F=y^2=x^3+5x+5$の場合
1.$x$に適当な数の自然数を代入する。その値$F(x)$を$m$として$f(m)$の$m$に代入する。
2.かわぐちさんの素因数発見アルゴリズムで、素因数を見つける。
3.素因数の二乗で右辺を割った値Kが\sqrt{F}以上かつ整数であるか調べる。\sqrt{F}以下なら解けない。
4.Kに1.2.3.を繰り返す。
5.小さくなったKが平方数であることを確認するか、1.2.3.4.のみで整点を見つける。整点を見つければ、有理点を見つけることができる。

楕円曲線暗号の解き方その3、整点がなくても解ける楕円曲線暗号の解き方（こっちの方が重要）

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$とする
$y^2-c=x^3+ax^2+bx$
$y^2-c=Y=f(x)$と置き、両辺を$x$で微分すると、

$Y'=3x^2+2ax+b$
$Y'=0$の時
$x=\frac{-a±\sqrt{a^2-b}}{3}$
これで、大体どんなグラフか判る。
$Y'=0$の時$y=\pm\sqrt{c}$だから……などと一々考えなくてよい。$Y'$は$f(x)=y^2-c=x^3+ax^2+bx$を微分したものなので、xの関数の微分、つまり導関数であり、楕円曲線上で大体の場合$x$の導関数は$0$になるからだ。
$Y'$を有理数の範囲で変えながら、$x$を極大点と極小点の間、その外で変える。
導関数の0以上、0以下の増減より定数$Y$と$f(x)$がどこで交点を持つか、$x$に関する3次関数のようにたちどころに判るということ。
3次関数なので、増減表の$f'(x)=0$で分かれた3つの部分を調べればよい。（場合により1,2箇所の可能性もある。）

楕円曲線暗号の解き方その4（これが本線）

その3の応用。
$f(y)=-x=y^2-c$
つまり$y=x^2-c$でもよい。
その内のどちらかと、
$f(x)=y=x^3+ax^2+bx$
前者のグラフは、$y=x^2-c$という2次関数を90度回転させて上下反転したものである。
このグラフを、両方同じxy平面に書いてしまう。解が大体求まる。
コンピュータであれば正確に求めることが可能である。

注意：自分でも自信ないです。しかし、その4が一番使えて、しかも簡単だと思います。
式変形の同値性の原理はよく解りません。

同日追記　$x$の2次関数はy軸に対して対称だからですね。