微分から加法定理を示す‼︎

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに読んで欲しい

この記事は初心者が書いています。微分できるかとか定義がちゃんとしてるかが厳密でないかも知れません。誤りや分かりずらい点があったらご指摘いただけると嬉しいです。あとここでは$\sin(x)$しかしないと思いますが、$\cos(x)$の方も同様に出来ると思います。

$\sin(x)$の定義

$\sin(x)$は、逆関数を使って定義できます。
$y∈(-1,1)$に対して
$$f(y)=\int_{0}^{y} \frac {dt}{ \sqrt{1-t^2} }$$という関数を定義します。これは平面上で第一成分が非負で、第2成分が$y$になる単位円上の一点と$(0,1)$までの弧の長さ($y<0$の時は値が負になりますが)を割り当てる図形的な関数になります。$π=2f(1)$とすると、$f(y)$は$(-π/2,π/2]$から$(-1,1]$への逆関数$f^{-1}(x)$を持ちます。

$f^{-1}(x)$は定義域で僕が欲しいような$\sin(x)$と一致します。これを全ての実数に広げたいです。全ての実数について、ある整数$n_x$で、$x+n_xπ∈(-π/2,π/2]$となるものがただ一つ取れます。これを用いて$\sin(x)$を定義します。

$\sin(x)$

$$\sin(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f^{-1}((-1)^{n_x}(x+n_xπ))\qquad\cdots x+n_xπ≠\frac{π}{2}\\ \qquad　(-1)^{n_x}\qquad\qquad\qquad\cdots x+n_xπ=\frac{π}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

キモいのは、$\sin(x)$が$f^{-1}(x)$をひっくり返してくっ付けてを繰り返したような関数であることを言おうとているからです。場合分けがあるのはひっくり返り返すから対称的であって欲しいのに$(-π/2,π/2]$が$π/2$の部分で非対称だからです。もっとシンプルな式があるかを知らないので、ここではこれを定義とします。
これで$\sin(x)$が定義できました〜。

加法定理

加法定理の証明の前に、いくつかの補題を示します。

$\sin(x)$と微分との関係

$$(1)\qquad\sin(x)^2+\sin’(x)^2=1$$
$$(2)\qquad\sin’(0)=1$$
$$(3)\qquad\sin(x)+\sin’’(x)=0$$

$(1)$
逆関数の性質と極限から全ての実数で$\sin’(x)=±\sqrt{1-\sin(x)^2}$と書ける。
よって$\sin’(x)^2=1-\sin(x)^2$が言える。
$(2)$
$\sin(x)$は$x=0$付近で単調増加する。よって$\sin’(0)$は非負であり、(1)の式より$\sin’(0)=1$である。
$(3)$
(1)の式を一度微分すると$2\sin’(x)\sin’’(x)+2\sin(x)\sin’(x)=0$となる。

$\sin(x)$の微分というのは加法定理からも導けますが、実は上の式はそれを用いずにいい感じに証明できます。←ここ大事
そして実は微分から、加法定理を示すことができるのです‼︎
では、加法定理を示す上での重要(だと思う)補題をもう一つ。

大事な補題

$g(x,y)$が平面上で微分可能な関数とする。以下は同値である。
$$(1)\qquad g(x+y,0)=g(x,y)$$
$$(2)\qquad\frac{∂g}{∂x}(x,y)=\frac{∂g}{∂y}(x,y)$$

$(1\Rightarrow 2)$
$$ \frac{∂g}{∂x}(x,y)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+y+h,0)-g(x,y)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h}=\frac{∂g}{∂y}(x,y)$$
$(1\Leftarrow 2)$
$h(x,y)=g(x+y,x-y)$と置く。$$ \frac {∂h}{∂y}(x,y)=\frac {∂g}{∂x}(x+y,x-y)-\frac {∂g}{∂y}(x+y,x-y)=0$$よって$h(x,y)$は$y$に依らず$x$のみで値が決定される。
$$g(x,y)=h(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})=h(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2})=g(x+y,0)$$

もう何だか証明の糸口が見えますネ。

加法定理

$$\sin(x+y)=\sin(x)\sin’(y)+\sin’(x)\sin(y)$$

$g(x,y)=\sin(x)\sin’(y)+\sin’(x)\sin(y)$とすると補題1より、
$$\frac{∂g}{∂x}(x,y)=\sin’(x)\sin’(y)+\sin’’(x)\sin(y)=\sin’(x)\sin’(y)-\sin(x)\sin(y)$$となり、$x$と$y$を入れ替えれば、
$$\frac{∂g}{∂x}(x,y)=\frac{∂g}{∂y}(x,y)$$分かる。補題3より
$$\sin(x)\sin’(y)+\sin’(x)\sin(y)=\sin(x+y)\sin’(0)+\sin’(x+y)\sin(0)$$
が言えて、最後に補題2の(2)と(3)より$\sin(x)\sin’(y)+\sin’(x)\sin(y)=\sin(x+y)$

この式に代入することで$\sin(π-x)=\sin’(x)$が得られて、$\cos(x)=\sin(π-x)$と置いてやれば、ようやく$\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=\sin(x+y)$という見慣れた形になると思います。

以上が、微分って加法定理使わずに導けね？てか、加法定理って微分から導けね？っていう話でした〜。