Baileyによる3F2の3次変換公式

\begin{align} &(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(a,a+\frac 13,a+\frac 23\right)_n}{n!(b,c)_n}\left(-\frac{27x}4\right)^n\sum_{0\leq k}\frac{(3a+3n)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(3a)_{3n+k}}{n!(b,c)_nk!}(-1)^n4^{-n}x^{n+k}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(3a)_{2n+k}}{n!(b,c)_n(k-n)!}(-1)^n4^{-n}x^k\\ &=\sum_{0\leq k}x^k\sum_{0\leq n}(-1)^n4^{-n}\frac{(3a)_{2n+k}}{n!(b,c)_n(k-n)!}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(3a)_k}{k!}x^k\F32{\frac{3a+k}2,\frac{3a+k+1}2,-k}{b,c}1 \end{align}
ここで, Saalschützの和公式から,
\begin{align} \F32{\frac{3a+k}2,\frac{3a+k+1}2,-k}{b,c}1&=\frac{\left(b-\frac{3a+k}2,b-\frac{3a+k+1}2\right)_k}{\left(b,b-3a-k-\frac 12\right)_k}\\ &=\frac{\left(2b-3a-k-1\right)_{2k}}{(-4)^k\left(b,\frac 32+3a-b\right)_k}\\ &=\frac{\left(2b-3a-1,2+3a-2b\right)_{k}}{4^k\left(b,c\right)_k}\\ &=\frac{\left(\frac 12+b-c,\frac 12+c-b\right)_{k}}{4^k\left(b,c\right)_k}\\ \end{align}
であるから定理が得られる.

\begin{align} &(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{\frac{27x^2}{4(1-x)^3}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(a,a+\frac 13,a+\frac 23\right)_n}{n!(b,c)_n}\left(\frac{27x^2}4\right)^n\sum_{0\leq k}\frac{(3a+3n)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(3a)_{3n+k}}{n!(b,c)_nk!}4^{-n}x^{2n+k}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(3a)_{n+k}}{n!(b,c)_n(k-2n)!}4^{-n}x^{k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(3a)_k}{k!}x^k\F32{3a+k,-\frac k2,\frac{1-k}2}{b,c}1 \end{align}
ここで, Saalschutzの和公式から, $k=2j$のとき,
\begin{align} \F32{3a+k,-\frac k2,\frac{1-k}2}{b,c}1&=\frac{\left(b-3a-2j,b+j-\frac 12\right)_j}{\left(b,b-3a-j-\frac 12\right)_j}\\ &=\frac{\left(b+j-\frac 12,c+j-\frac 12\right)_j}{\left(b,c\right)_j}\\ &=\frac{4^k\left(b-\frac 12,c-\frac 12\right)_k}{\left(2b-1,2c-1\right)_k}\\ \end{align}
全く同様に, $k=2j+1$の場合もSaalschutzの和公式から
\begin{align} \F32{3a+k,-\frac k2,\frac{1-k}2}{b,c}1&=\frac{4^k\left(b-\frac 12,c-\frac 12\right)_k}{\left(2b-1,2c-1\right)_k} \end{align}
である. よって定理を得る.