文献あり

連分数王におれはなる！

130

あいさつ

んちゃ！
今回はずんだ餅をおごってもらう代わりにやなさんの代筆をまかされたずんだもんが連分数について書いていくのだ。
早くずんだ餅を食べたいのだ！

ここ重要
<ナレーション>
ずんだもんは今やなさんに無理やり代筆させられています。
あなたが評価をくれるとずんだ餅を一個買ってもらえる状態なのです。
なので、記事の評価が上がれば上がるほど記事の更新が早くなり他の記事も修正加筆されていきます。
ぜひ、みんなで協力してずんだもんを助けましょう。

continued fraction: Real Number

Histrical background

Euclidean algorithm

任意の正整数の組 $x_{0} > x_{1}$ は次の様な自然数列 $x_{0} > x_{1} > x_{2} > \dots$ を生み出す：
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x_{0} = b_{0} x_{1} + x_{2} \\ x_{1} = b_{1} x_{2} + x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n - 2} = b_{n - 2} x_{n - 1} + x_{n} \\ x_{n - 1} = b_{n - 1} x_{n} \end{cases} \end{array}$
ここで、 $b_{j} \in N, j = 0, 1, . . .$ であり、減少自然数列は有限個なので必ず、ある自然数 $n$ が存在して $x_{n - 1} = b_{n - 1} x_{n}$ が成り立ち、必ず上記アルゴリズムは必ず終了する。

[1]まず実直線

R

を次の様に長さ

x_{1}

の半区間

[k x_{1}, (k + 1) x_{k})

で次の様に分割する：

R = \cup_{k = - \infty}^{\infty} [k x_{1}, (k + 1) x_{1})

すると任意の自然数

x_{0}

は実直線

R

状に存在するのである整数

b_{0}

が存在して

x_{0} \in [b_{0} x_{1}, (b_{0} + 1) x_{1})

が成り立つから、次式を得る。

x_{0} = b_{0} x_{1} + x_{2} (0 \leq x_{2} < x_{1})

[2][1]を繰り返せばEuclidean algorithmを得る。

Euclidean algorithmを用いると、次の様のな連分数を得る。
$\frac{1}{b_{0} + \frac{1}{b_{1} + \frac{1}{b_{2} + \dots + \frac{1}{b_{n - 1}}}}} = b_{0} + \frac{1}{b_{1}}_{+} \frac{1}{b_{2}}_{+} \dots_{+} \frac{1}{b_{n - 1}}$
ただし、この連分数の表記はRogers(1907)によるものである。
今回は連分数を表す際はRogersの表記を用いることにする。

\frac{x_{0}}{x_{1}} = b_{0} + \frac{1}{\frac{x_{1}}{x_{2}}}

を帰納的に用いるだけ。

Bombelliの方法

Bombelli(1572)は非平方な正整数 $N$ に対して $\sqrt{N}$ を計算する方法を考えた。
それは次のようである。
[1] $a$ を $a^{2} < N$ を満たす最大の正整数とし、
[2] $N = a^{2} + r (r > 0)$ を用いて
[3]次の様に計算できる。
$\sqrt{N} = a + \frac{r}{2 a}_{+} \frac{r}{2 a}_{+} \dots_{+} \frac{r}{2 a}_{+ \dots}$

\sqrt{a^{2} + r} = a + x

とおくと

\begin{array}{rcl} x & = & \sqrt{a^{2} + r} - a \\ = & \frac{r}{\sqrt{a^{2} + r} + a} \\ = & \frac{r}{\sqrt{a^{2} + r} - a + 2 a} \\ = & \frac{r}{2 a + x} \end{array}

を用いるだけ。

$\sqrt{11} = 3 + \frac{2}{6}_{+} \frac{2}{6}_{+} \dots_{+} \frac{2}{6}_{+ \dots}$

Euler's theory of continued fractions

Euclidean algorismの式で右辺の係数1を係数 $a_{j}$ に置き換えると次の数列を得る。
${\begin{cases} x_{0} = b_{0} x_{1} + a_{1} x_{2} \\ x_{1} = b_{1} x_{2} + a_{2} x_{3} \\ x_{2} = b_{2} x_{3} + a_{3} x_{4} \\ ⋮ \end{cases}$
$x_{k}$ が分からない場合を除いて、次の連分数を得る。
$\frac{x_{0}}{x_{1}} = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1}}_{+} \frac{a_{2}}{b_{2}}_{+} \dots_{+} \frac{a_{n}}{b_{n}}_{+ \dots} = b_{0} + K_{k = 1}^{\infty} (\frac{a_{k}}{b_{k}})$
このとき、近似連分数 $\frac{P_{n}}{Q_{n}} = b_{0} + K_{k = 0}^{n} (\frac{a_{k}}{b_{k}})$ とすると次の式が成り立つ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} P_{- 1} = 1 \\ Q_{- 1} = 0 \end{cases} \end{array}$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} P_{0} = b_{0} \\ Q_{0} = 1 \end{cases} \end{array}$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} P_{n} = b_{n} P_{n - 1} + a_{n} P_{n - 2} \\ Q_{n} = b_{n} Q_{n - 1} + a_{n} Q_{n - 2} \end{cases} \end{array}$
$P_{n} Q_{n - 1} - P_{n - 1} Q_{n} = (- 1)^{n - 1} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$

[1]n=1の場合：

\frac{P_{1}}{Q_{1}} = \frac{b_{1} b_{0} + a_{1}}{b_{1}} = \frac{b_{1} P_{0} + a_{0} P_{- 1}}{b_{1} Q_{0} + a_{1} Q_{- 1}}

[2]1,2,...,nまで成り立つとする。
[3]つぎに

n + 1

の場合を考える。

\frac{a_{n}}{b_{n}}_{+} \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} = \frac{b_{n + 1} a_{n}}{b_{n + 1} b_{n} + a_{n + 1}} = \frac{a_{n}^{^{'}}}{b^{^{'}} n}

とすると

\begin{array}{rcl} \frac{P_{n + 1}}{Q_{n + 1}} & = & b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1}}_{+} \frac{a_{2}}{b_{2}}_{+} \dots_{+} \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} \\ = & b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1}}_{+} \frac{a_{2}}{b_{2}}_{+} \dots_{+} \frac{a_{n}^{^{'}}}{b_{n}^{^{'}}} \end{array}

より帰納法の仮定より

\begin{array}{rcl} P_{n + 1} & = & b_{n}^{^{'}} P_{n - 1} + a^{^{'}} P_{n - 2} \\ = & b_{n + 1} (b_{n} P_{n - 1} + a n P_{n - 2}) + a_{n + 1} P_{n - 1} \\ = & b_{n + 1} P_{n} + a_{n} P_{n - 1} \end{array}

Q_{n}

も

P_{n}

と同じ漸化式に従うので

Q_{n}

の漸化式も証明完了されていることに注意。
[4]

\begin{array}{rcl} P_{n} Q_{n - 1} - P_{n - 1} Q_{n} & = & (b_{n} P_{n - 1} + a_{n - 1} P_{n - 2}) Q_{n - 1} - P_{n - 1} (b_{n} Q_{n - 1} + a_{n} Q_{n - 2}) \\ = & - a_{n} (P_{n - 1} Q_{n - 2} - P_{n - 2} Q_{n - 1}) \\ = & (- 1)^{n} a_{1} a_{2} \dots a_{n} (P_{0} Q_{- 1} - P_{- 1} Q_{0}) \\ = & (- 1)^{n - 1} a_{1} a_{2} \dots a_{n} \end{array}

Euler-Mindinger formulas(Perron 1954)

次の様な $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ の有理多項式を考える。
$A_{n} = b_{0} b_{1} \dots b_{n} (1 + \frac{a_{1}}{b_{0} b_{1}}) (1 + \frac{a_{2}}{b_{1} b_{2}}) \dots (1 + \frac{a_{n}}{b_{n - 1} b_{n}})$
ここで、この $A_{n}$ を次の様な"整数"型
$\begin{array}{r} {\begin{cases} b_{0} b_{1} \dots b_{n} \frac{a_{1}}{b_{0} b_{1}} = b_{2} b_{3} \dots b_{n} a_{1} \\ b_{0} b_{1} \dots b_{n} \frac{a_{1}}{b_{0} b_{1}} \frac{a_{3}}{b_{2} b_{3}} = b_{4} b_{4} \dots b_{n} a_{1} a_{3} \end{cases} \end{array}$
また次の様な"有理数"型
$b_{0} b_{1} \dots b_{n} \frac{a_{1}}{b_{0} b_{1}} \frac{a_{1}}{b_{1} b_{2}} = \frac{b_{3} b_{4} \dots b_{n}}{b_{1}} a_{1} a_{2}$
に分ける。そして $A_{n}$ の整数型の総和を $[[A_{n}]]$ 、有理数型の総和を ${{A_{n}}}$ として
$A_{n} = [[A_{n}]] + {{A_{n}}}$
すると次式が成り立つ。
$P_{n} = [[A_{n}]]$

[1]

A_{0} = b_{0} = P_{0}

また

A_{1} = b_{0} b_{1} + a_{1} = b_{1} P_{0} + a_{1} P_{- 1}

が成り立つ。そこで0,1,..,nまで成り立つと仮定すると、Euller-Wallisの公式より次式が成り立つ。

[[A_{n}]] = b_{n} [[A_{n - 1}]] + a_{n} [[A_{n - 2}]]

A_{n} = b_{n} (1 + \frac{a_{n}}{b_{n - 1} b_{n}}) A_{n - 1} = b_{n} A_{n - 1} + \frac{a_{n}}{b_{n - 1}} A_{n - 1}

また

n \to n - 1

として

A_{n - 1} = b_{n - 1} A_{n - 2} + \frac{a_{n - 1}}{b_{n - 2}} A_{n - 2}

を得るので、これを代入すると

A_{n} = b_{n} A_{n} + a_{n} A_{n - 1} + \frac{a_{n - 1} a_{n}}{b_{n - 2} b_{n - 1}} A_{n - 2}

を得る。ゆえに、

[[b_{n} A_{n - 1}]] = b_{n} [[A_{n}]]

、

[[a_{n} A_{n - 2}]] = a_{n} [[A_{n - 2}]]

また

A_{n - 2} は b_{n - 1}

に依存しないから整数型の項を一つも持たない。ゆえに、

[[A_{n}]] = b_{n} [[A_{n - 1}]] + a_{n} [[A_{n - 2}]]

を満たすことが示せた。

Rational approximation

正規連分数algorism

任意の無理数 $ξ$ を正規連分数で表す方法について考える。
[1]まず、 $[ξ]$ を $ξ$ 以下の最大の整数とする。また、 $0 \leq ξ - [ξ] = ξ < 1$ を $ξ$ の小数部分と呼ぶ。
[2]このとき、数列 ${ξ_{n}}_{n \geq 0}$ を次の様に定める。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} ξ_{0} = ξ \\ ξ_{n + 1} = \frac{1}{ξ_{n}} \end{cases} \end{array}$
[3]すると次の連分数を得る。
$\begin{array}{rcl} ξ & = & [ξ_{0}] + {{ξ_{0}}} \\ = & [ξ_{0}] + \frac{1}{\frac{1}{{{ξ_{0}}}}} \\ = & [ξ_{0}] + \frac{1}{[ξ_{1}]}_{+} \frac{1}{\frac{1}{{{ξ_{1}}}}} \\ = & [ξ_{0}] + K_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{[ξ_{k}]} \end{array}$

整数 $a, b, c, d, s, t$ を $b, d > 0, b c - a d = 1$ そして $\frac{a}{b} < \frac{s}{t} < \frac{c}{d}, t > 0$ を満たすよう選ぶと、 $t > m a x (b, d)$ が成り立つ。

\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{1}{t b} \leq \frac{b s - a t}{t b} = \frac{s}{t} - \frac{a}{b} < \frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{1}{b d} \Rightarrow t > d \\ \frac{1}{t d} \leq \frac{c t - d s}{t d} = \frac{c}{d} - \frac{s}{t} < \frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{1}{b d} \Rightarrow t > b \end{cases} \end{array}

整数 $a, b, c, d$ を $b, d > 0, b c - a d = \pm 1$ を満たすようにする。この時次のような有理関数を考える。
$ϕ (x) = \frac{a x + c}{b x + d}$
すると、これは $\frac{c}{d}$ から $\frac{a}{b}$ にかけて、 $b c - a d = - 1$ なら増大関数、 $b c - a d = 1$ ならば減少関数になる。

ϕ^{^{'}} (x) = \frac{a d - b c}{(b x + d)^{2}}

ragrange's theory

実数 $ξ$ を $\frac{P}{Q}$ がLagrange最近似していると呼ばれるのは次の不等式を満たす場合である。
$| Q ξ - P | < | q ξ - p |$
ただし $\frac{p}{q} \neq \frac{P}{Q}$ かつ $1 \leq q \leq Q$ を満たす整数 $q$ すべてを対象にしている。

後で追記予定

Euler's algorithm

Euler's theorem

連分数 $b_{0} + K_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{b_{k}})$ が周期的であるとは、ある整数 $h \geq 0$ と $d > 0$ が存在して $b_{j + d} = b_{j}, j = 0, 1, 2, . . . f o r j \geq h$ が成り立つ場合を言う。
なお $h = 0$ の場合を純周期的であるという。有限かつ有限の極限を持つこと

任意の周期的連分数は二次方程式を解くことと等価

[1]もし、

ξ = b_{0} + K_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{b_{k}}

が周期

d

を持つ純周期的な連分数であるとすると、

d - 1

項までを考慮した連分数を

\frac{P_{d - 1}}{Q_{d - 1}}

とすれば

ξ = b_{0} + \frac{1}{b_{1}}_{+} \frac{1}{b_{2}}_{+} \dots_{+} \frac{1}{b_{d - 1} + \frac{1}{ξ}}

より

ξ = \frac{ξ P_{d - 1 + P_{d - 2}}}{ξ Q_{d - 1} + Q_{d - 2}}

ゆえに

x i

は次の二次方程式の解

Q_{d - 1} x^{2} + (Q_{d - 2} - P_{d - 1}) x - P_{d - 2} = 0

[2]もし

x i

が周期的で

h > 0

である場合は次の様に書ける。

ξ = \frac{η P_{d - 1} + P_{d - 2}}{η Q_{d - 1} + Q_{d - 1}}

ただし、

η

は純周期連分数。

x i

を求める事は

e t a

を求める事と同値であり[1]より

e t a

は二次方程式の解なのでこれも二次方程式を解くことと等価なことが分かる。

後で追記予定

Continued fractions: analysis

Sofronov(1729-60)のパラドクス

$\begin{array}{rcl} \sqrt{- a} & = & b + \sqrt{- a} - b \\ = & b + \frac{- a - b^{2}}{b + \sqrt{- a}} \\ = & b + \frac{- a - b^{2}}{2 b}_{+} \frac{- a - b^{2}}{2 b}_{+} \dots_{+} \frac{- a - b^{2}}{2 b}_{+ \dots} \end{array}$
ここで $b = 1, a = 1$ とすると、次の様な連分数を得る！
$i = 1 + \frac{- 2}{2}_{+} \frac{- 2}{2}_{+} \dots_{+} \frac{- 2}{2}_{+ \dots}$
しかし、これは明らかにおかしい。
つまり左辺は純虚数であり右辺は実数だから。

$\begin{array}{rcl} m + \frac{n}{m}_{+} \frac{n}{m}_{+} \dots_{+} \frac{n}{m}_{+ \dots} & = & m + \frac{1}{\frac{m}{n}}_{+} \frac{1}{n}_{+} \frac{1}{\frac{m}{n}}_{+} \frac{1}{m}_{+ \dots} \\ = & α + \frac{1}{β}_{+} \frac{1}{α}_{+} \frac{1}{β}_{+ \dots} \end{array}$
ただし、 $α = m, β = \frac{m}{n}$ とした。

連分数 $K_{n = 1}^{\infty} (\frac{p_{n}}{q_{n}})$ が収束するとは、その数列 ${d_{n}}_{n \geq 0}$ が有限かつ有限の極限を持つことである。

$Q (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} Q_{n} z^{n}$
のような級数を考える。また、Euler-Wallisの公式を $α + \frac{1}{β}_{+} \frac{1}{α}_{+} \frac{1}{β}_{+ \dots}$ に適用すると
$\begin{array}{r} {\begin{cases} Q_{2 k + 1} = β Q_{2 k} + Q_{2 k - 1} (k = 0, 1, 2, . . .) \\ Q_{2 k} = α Q_{2 k - 1} + Q_{2 k - 2} (k = 1, 2, 3, . . .) \end{cases} \end{array}$
最初の漸化式は次の式を暗示している。
$\begin{array}{rcl} Q_{o d d} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k + 1} z^{2 k + 1} \\ = & β z \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k} z^{2 k} + z^{2} \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k + 1} z^{2 k + 1} \end{array}$
また
$\begin{array}{rcl} Q_{e v e n} & = & \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k} z^{2 k} \\ = & 1 + α z \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k + 1} z^{2 k + 1} + z^{2} \sum_{k = 0}^{\infty} Q_{2 k} z^{2 k} \end{array}$
ゆえに次の連立方程式を得る。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} (1 - z^{2}) Q_{o d d} = β z Q_{e v e n} \\ (1 - z^{2}) Q_{e v e n} = 1 + α z Q_{o d d} \end{cases} \end{array}$
ゆえに、この連立方程式を解いて
$\begin{array}{r} {\begin{cases} Q_{e v e n} = \frac{1 - z^{2}}{(1 - z^{2})^{2} - α β z^{2}} \\ Q_{o d d} = \frac{β z}{(1 - z^{2})^{2} - α β z^{2}} \end{cases} \end{array}$

後で追記します。

Brounker's method and gamma function

Euler's Gamma function

Gamma function

[0] $Γ (x + 1) = x Γ (x) (Γ (1) = 1)$
の様な関数を考える。
[1]すると次式を得る。
$\begin{array}{rcl} Γ (x) & = & \frac{Γ (x + 1)}{x} \\ = & \frac{Γ (x + n + 1)}{x (x + 1) \dots (x + n)} \end{array}$
[2]
実は次の式が成り立つ。
$Γ (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{x} n!}{x (x + 1) \dots (x + n)}$
上記関数をGamma関数という。

凸

数列 ${c_{n}}_{n \geq 0}$ が凸であるとは、任意の $k \geq 1$ に対して $2 c_{k} \leq c_{k + 1} + c_{k - 1}$ が成り立つことを言う。

{z_{n} = \log n!}_{n \geq 0}

を凸。[1]実際

z_{n + 1} + z_{n} - 2 z_{n} = \log_{\frac{n + 1}{n}}

[2]

\log Γ (t + 1)

がそれを補完するので、

\log Γ (t + 1)

も凸。このとき、下記の平面上の三点:

(n - 1; z_{n - 1}), (n, z_{n}); (n, z_{n}), (x + n, \log γ (x + n + 1)); (n, z_{n}), (n + 1, z_{n + 1})

での勾配を考える。すると下記の結果を得る。

\log n \leq \frac{Γ (x + n + 1) - \log n!}{x} \leq \log (n + 1)

または書き直して、

n^{x} n! \leq Γ (x + n + 1) \leq (n + 1)^{x} n!

[3]ゆえに次式を得る。

\frac{n^{x} n!}{x (x + 1) \dots (x + n)} \leq Γ (x) \leq \frac{(n + 1)^{x} n!}{x (x + 1) \dots (x + n)} = \frac{n^{x} n!}{x (x + 1) \dots (x + n)} (1 + \frac{1}{n})^{x}

[4]上記不等式を用いると以下の式を得る。

Γ (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{x} n!}{x (x + 1) \dots (x + n)}

後で追記します。

Continued fraction:Euler

Paerial sum

数列 ${d_{n}}_{n \geq 0}$ が存在して、 $d_{n} = q_{0} + K_{k = 1}^{n} (\frac{p_{k}}{q_{k}})$ を満たす様なものが存在する。ただし、 $d_{0} \neq \infty, d_{n} \neq d_{n - 1} (n = 1, 2, 3, . . .)$

[1] $d_{n} = \frac{P_{n}}{Q_{n}} (n = 0, 1, 2, . . .)$ が存在するとすると、 $d_{0} = q_{0} \neq 0$ 。
[2]また、次式が成り立つ。
$\begin{array}{rcl} d_{n} - d_{n - 1} & = & \frac{P_{n}}{Q_{n}} - \frac{P_{n - 1}}{Q_{n - 1}} \\ = & \frac{P_{n} Q_{n - 1} - P_{n - 1} Q_{n}}{Q_{n - 1} Q_{n}} \\ = & \frac{(- 1)^{n - 1} p_{1} p_{2} \dots p_{n}}{Q_{n - 1} Q_{n}} \neq 0 \end{array}$
[3]Euler-Wallisの漸化式より次式で与えられる。
$\begin{array}{r} d_{n} = q_{n} d_{n - 1} + p_{n} d_{n - 2} \\ 1 = p_{n} + q_{n} \end{array}$
[3] $q_{n - 1} - d_{n - 2} \neq 0$ より
$\begin{array}{r} p_{n} = \frac{d_{n - 1} - d_{n}}{d_{n - 1} - d_{n - 2}} \\ q_{n} = \frac{d_{n} - d_{n - 2}}{d_{n - 1} - d_{n - 2}} \end{array}$
[4] $q_{0} = d_{0}, p_{1} = d_{1} - d_{0}, q_{1} = 1$

Euler(1744)

数列 ${c_{n}}_{n \geq 0}$ は複素数列であるとき、次式が成り立つ。
$c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + w} = \frac{c_{0}}{1}_{-} \frac{\frac{c_{1}}{c_{0}}}{1 + \frac{c_{1}}{c_{0}} + w}$ を用いると $\sum_{k = 0}^{n} c_{k} = \frac{c_{0}}{1}_{-} \frac{\frac{c_{1}}{c_{0}}}{1 + \frac{c_{1}}{c_{0}}}_{-} \frac{\frac{c_{2}}{c_{1}}}{1 + \frac{c_{2}}{c_{1}}}_{- \dots}_{-} \frac{\frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}{1 + \frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}$

d_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k}

とおくと、先の定理より

\begin{array}{r} {\begin{cases} p_{n} = \frac{d_{n - 1} - d_{n}}{d_{n - 1} - d_{n - 2}} = - \frac{c_{n}}{c_{n - 1}} \\ q_{n} = \frac{d_{n} - d_{n - 2}}{d_{n - 1} - d_{n - 2}} = \frac{c_{n} + c_{n - 1}}{c_{n - 1}} \end{cases} \end{array}

また、

q_{0} = d_{0} = c_{0}, p_{1} = d_{1} - d_{0} = c_{1}, q_{1} = 1

とすると下記の式が示される。

\sum_{k = 0}^{n} c_{k} = c_{0} + \frac{c_{1}}{1}_{-} \frac{\frac{c_{2}}{c_{1}}}{1 + \frac{c_{2}}{c_{1}}}_{-} \frac{\frac{c_{3}}{c_{2}}}{1 + \frac{c_{3}}{c_{2}}}_{- \dots}_{-} \frac{\frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}{1 + \frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}

また、次の式

c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + w} = \frac{c_{0}}{1}_{-} \frac{\frac{c_{1}}{c_{0}}}{1 + \frac{c_{1}}{c_{0}} + w}

を用いると

\sum_{k = 0}^{n} c_{k} = \frac{c_{0}}{1}_{-} \frac{\frac{c_{1}}{c_{0}}}{1 + \frac{c_{1}}{c_{0}}}_{-} \frac{\frac{c_{2}}{c_{1}}}{1 + \frac{c_{2}}{c_{1}}}_{- \dots}_{-} \frac{\frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}{1 + \frac{c_{n}}{c_{n - 1}}}

$c_{0} = ρ_{0}, c_{k} = ρ_{0} ρ_{1} \dots ρ_{k} (k = 1, 2, . . .)$ とすると
$\sum_{k = 0}^{n} ρ_{0} ρ_{1} \dots ρ_{k} = \frac{ρ_{0}}{1}_{-} \frac{ρ_{1}}{1 + ρ_{1}}_{-} \frac{ρ_{2}}{1 + ρ_{2}}_{- \dots}_{-} \frac{ρ_{n}}{1 + ρ_{n}}$

超幾何数列

数列 $t (n)$ がその階比 $\frac{t (n + 1)}{t (n)} = r (n)$ が $n$ に関する有理関数になるとき $t (n)$ を超幾何数列という。

超幾何数列 $t (n)$ が次の様に書けるとする。
$\frac{t (n + 1)}{t (n)} = \frac{(n + a_{1}) (n + a_{2}) \dots (n + a_{k})}{(n + b_{1}) (n + b_{2}) \dots (n + b_{l})} z$
すると、次の様に書けるので
$t (n) = t (0) \frac{(a_{1})_{n} (a_{2})_{n} \dots (a_{k})_{n}}{(b_{1})_{n} (b_{2})_{n} \dots (b_{l})_{n}} z^{n}$
ここで $t (0) = 1$ として次式を得る。
$\begin{array}{rcl} \sum_{m = 1}^{n} t (m) & = & \sum_{m = 0}^{n} \frac{(a_{1})_{m} (a_{2})_{m} \dots (a_{k})_{m}}{(b_{1})_{m} (b_{2})_{m} \dots (b_{l})_{m}} z^{m} \\ = & \frac{1}{1}_{-} \frac{\frac{a_{1} a_{2} \dots a_{k}}{b_{1} b_{2} \dots b_{l}} z}{1 + \frac{a_{1} a_{2} \dots a_{k}}{b_{1} b_{2} \dots b_{l}} z}_{-} \frac{\frac{(a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)}{(b_{1} + 1) (b_{2} + 1) \dots (b_{l} + 1)} z}{1 + \frac{(a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)}{(b_{1} + 1) (b_{2} + 1) \dots (b_{l} + 1)} z}_{- \dots}_{-} \frac{\frac{(a_{1} + n) (a_{2} + n) \dots (a_{k} + n)}{(b_{1} + n) (b_{2} + n) \dots (b_{l} + n)} z}{1 + \frac{(a_{1} + n) (a_{2} + n) \dots (a_{k} + n)}{(b_{1} + n) (b_{2} + n) \dots (b_{l} + n)} z} \end{array}$