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【微分幾何メモ】複素Clifford代数の既約表現の一般的な構成

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 Clifford代数の既約表現は次元によって行列表示(γ行列など)が色々ありますが、一方で一般的な構成があります。

Clifford代数の既約表現とSpin表現

n次元Euclidベクトル空間(V,g)に対して定義される複素Clifford代数をClnと表します。またPauli行列を
σ1=(0110), σ2=(0ii0), σ3=T=(1001)
とし、sk=iσk, (k=1,2,3)とします。さらに
α(j)={1 (j:odd)2 (j:even)
とします。

Cl2m,Cl2m+1の既約表現は
Δ2m:Cl2mM(C,2m)Δ2m+1:Cl2m+1M(C,2m)M(C,2m)
となることが知られていますが、以下ではこれを構成します。

まずm=3の例を見ます。
n=2m=6のとき、Δ6
e1I2I2s1e2I2I2s2e3I2s1Te4I2s2Te5s1TTe6s2TT
で与えられます。またn=2m+1=7のとき、Δ7
ei(Δ6(ei),Δ6(ei)), (i=1,2,3,4,5,6)e7(iTTT,iTTT)
で与えられます。

これは直ちに一般化できて以下のようになります。

Δ2m:Cl2mM(C,2m)Δ2m(ej)=I2I2sα(j)TT[j12]mΔ2m+1:Cl2m+1M(C,2m)M(C,2m)Δ2m+1(ej)=(Δ2m(ej),Δ2m(ej))Δ2m+1(en)=(iTT,iTT)

このときSpin表現は

ρ2m:=Δ2m|Spin(2m)ρ2m+1:=proj1Δ2m+1|Spin(2m+1)

で与えられます。ただしproji (i=1,2)は第i因子への射影です。以降で述べますが、ρ2m+1ρ^2m+1:=proj2Δ2m+1|Spin(2m+1)は同値な表現となります。

Spin(2m)のSpin表現について

さらにρ2mは非同値な表現の直和
ρ2m:=Δ2m|Spin(2m)=ρ2m+ρ2m
に分解されます。これを見るには次のようにします。まず
ω=ime1e2m
に対して、ω2=1であるから、表現空間W2mΔ2m(ω)の固有値±1の固有空間の直和W2m=W2m+W2mと分解されます。
実際、
Δ2m(ω)=(1)m+1ims3s3=TT
なので、
u(+1):=(10), u(1):=(01)
と置くとき、集合
{u(ϵ1)u(ϵm); iϵi=1}
が張る部分空間をそれぞれW2m±とすればよい。また上に示した基底はW2m±=C2m1の標準的Hermite内積に関して正規直交基底となります。

Spin(2m+1)のSpin表現について

 ρ2m+1,ρ^2m+1は同値な表現となります。これは以下のように分かります。表現空間をW2m+1,W^2m+1とすると、ベクトル空間としてW2m+1W^2m+1C2mW2m+W2mであるから、f:W2m+1W^2m+1
f(u+u):=u+(u)
とすると、fは明らかにC同型ですが、実はSpin(2m+1)同変であることが分かります。実際、Spin(2m+1)Spin(2m)の作用でW2m±はそれぞれ不変なので、同変性はeie2m+1 (i2m)の形をした元の作用について確かめれば十分です。ρ2m+1(e2m+1)u±=iu±, ρ^2m+1(e2m+1)u±=±iu±であることと、ei (i2m)の作用がW2m±を入れ替えることを使うと、
fρ2m+1(eie2m+1)(u+u))=fρ2m+1(ei)(iu+iu))=f(iρ2m+1(ei)u(iρ2m+1(ei)u+))=iρ2m+1(ei)uiρ2m+1(ei)u+=ρ^2m+1(ei)ρ^2m+1(e2m+1)(u+(u))=ρ^2m+1(eie2m+1)f(u+u)
となるので同変性が確かめられます。

次元が1異なるSpin表現について

 あるスピン多様体と1次元多様体の直積を考える場合などに次元が1異なるSpin表現との関係が知りたいことがあります。そこでρn+1Spin(n)に制限した表現はどうなるのか(ρnと同値な表現がえらる)とその表現空間に対してen+1が具体的にどのように作用するのかを偶奇分けして述べます。

ρ2m+1|Spin(2m)について

 ρ2m+1の定義から明らかにρ2m+1|Spin(2m)=ρ2mとなります。W2m+1W2m=W2m+W2mなのでW2m+1u=u++uと表すと、e2m+1
ρ2m+1(e2m+1)(u++u)=iu+iu
と作用します。

ρ2(m+1)|Spin(2m+1)について

 W2(m+1)の部分空間としてW2m+1,W^2m+1
W2m+1:={α±βW2(m+1); s1α±=iα±, βC2m}W^2m+1:={α±βW2(m+1); s1α±=iα±, βC2m}
のように定義すると、Spin(2m+1)の表現としてρ2(m+1)|Spin(2m+1)ρ2m+1となることは明らかである。

 また
W2(m+1)W2m+1=W2m+1W^2m+1(W2m+W2m)(W^2m+W^2m)(u++u)(v++v)
と表せる。このとき
α±=C(1±1)
であり、s2α±=±αであるから、
ρ2(m+1)(e2(m+1)){(u++u)(v++v)}=(v+v)(u+u)
となる。

投稿日:2024311
更新日:2024412
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Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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