初等幾何の問題の解説 2

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かえでです．
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます．

問題

三角形 $A B C$ において，その内接円を $ω$ ，外接円を $Γ$ ，内心を $I$ とする． $ω$ と $B C, C A, A B$ の交点をそれぞれ $D, E, F$ とし， $D$ を通り $E F$ に垂直な直線と $ω$ の交点を $P$ ( $\neq D$ )とする．
$Γ$ 上に $A I = A X = A Y$ を満たすように異なる $2$ 点 $X, Y$ を取ったとき，
直線 $X Y$ は $P$ で $ω$ に接することを示せ．

↓解答↓
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解答

直線 $X Y$ は一意に定まるから， $P$ における $ω$ の接線 $l$ と $Γ$ の交点 $M, N$ に対して，
$A I = A M = A N$ が成り立つことを示せば十分である．ここで，異なる $2$ 点 $M, N$ が少なくとも存在することに留意せよ．ただし，直線 $A B$ に対して $C$ と異なる方にあるものを $M$ とする．
$l$ と $A B, A C$ の交点を $S, T$ とする．
以下を示す．

$B, C, S, T$ は共円．

$∠ S T C = ∠ P T E = 180 ° - ∠ P I E = 180 ° - 2 ∠ P D E = 180 ° - 2 (90 ° - ∠ D E F) = 2 ∠ D E F = 2 (180 ° - (90 ° - ∠ A / 2 + 90 ° - ∠ C / 2)) = 2 (∠ A / 2 + ∠ C / 2) = ∠ A + ∠ C = 180 ° - ∠ B$
よって示される．

補題 $1$ より，
$∠ B M A = 180 ° - ∠ B C A = ∠ M S A$ であるから，
$A M^{2} = A S ･ A B$ ．
また， $∠ A S I = ∠ C + 90 ° - ∠ C / 2 = 90 ° + ∠ C / 2 = ∠ A I B$ より， $A I^{2} = A S ･ A B$
同様に $A N^{2} = A T ･ A C = A I^{2}$ が成り立つから，
$A M = A I = A N$ となりこれより題意は示される． //