2

初等幾何の問題の解説 2

202
0
$$$$

かえでです.
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます.

問題

三角形$ ABC $において,その内接円を$ ω $,外接円を$ Γ $,内心を$ I $とする.$ ω $$ BC,CA,AB $の交点をそれぞれ$ D,E,F $とし,$ D $を通り$ EF $に垂直な直線と$ ω $の交点を$ P $($ ≠D $)とする.
$ Γ $上に$ AI=AX=AY $を満たすように異なる$ 2 $$ X,Y $を取ったとき,
直線$ XY $$ P $$ ω $に接することを示せ.

↓解答↓








解答

直線$ XY $は一意に定まるから,$ P $における$ ω $の接線$ l $$ Γ $の交点$ M,N $に対して,
$ AI=AM=AN $が成り立つことを示せば十分である.ここで,異なる$ 2 $$ M,N $が少なくとも存在することに留意せよ.ただし,直線$ AB $に対して$ C $と異なる方にあるものを$ M $とする.
$ l $$ AB,AC $の交点を$ S,T $とする.
以下を示す.

$ B,C,S,T $は共円.

$ ∠STC=∠PTE=180°-∠PIE=180°-2∠PDE=180°-2(90°-∠DEF)=2∠DEF=2(180°-(90°-∠A/2+90°-∠C/2))=2(∠A/2+∠C/2)=∠A+∠C=180°-∠B $
よって示される.

補題$ 1 $より,
$ ∠BMA=180°-∠BCA=∠MSA $であるから,
$ AM^2=AS・AB $
また,$ ∠ASI=∠C+90°-∠C/2=90°+∠C/2=∠AIB $より,$ AI^2=AS・AB $
同様に$ AN^2=AT・AC=AI^2 $が成り立つから,
$ AM=AI=AN $となりこれより題意は示される. //

最後に

ここではAngle chaseに縋ったような解答を紹介しましたが,他にも色んなアプローチができそうですね.
以上です.

投稿日:2023113

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

ユークリッド幾何学をユークリってます

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中