かえでです.
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます.
問題
三角形において,その内接円を,外接円を,内心をとする.との交点をそれぞれとし,を通りに垂直な直線との交点を()とする.
上にを満たすように異なる点を取ったとき,
直線はでに接することを示せ.
↓解答↓
.
.
.
.
.
.
.
.
.
解答
直線は一意に定まるから,におけるの接線との交点に対して,
が成り立つことを示せば十分である.ここで,異なる点が少なくとも存在することに留意せよ.ただし,直線に対してと異なる方にあるものをとする.
との交点をとする.
以下を示す.
補題より,
であるから,
.
また,より,
同様にが成り立つから,
となりこれより題意は示される. //
最後に
ここではAngle chaseに縋ったような解答を紹介しましたが,他にも色んなアプローチができそうですね.
以上です.