初等幾何の問題の解説 2
かえでです．
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます．
問題
三角形$ ABC $において，その内接円を$ ω $，外接円を$ Γ $，内心を$ I $とする．$ ω $と$ BC,CA,AB $の交点をそれぞれ$ D,E,F $とし，$ D $を通り$ EF $に垂直な直線と$ ω $の交点を$ P $($ ≠D $)とする．
$ Γ $上に$ AI=AX=AY $を満たすように異なる$ 2 $点$ X,Y $を取ったとき，
直線$ XY $は$ P $で$ ω $に接することを示せ．
↓解答↓
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解答
直線$ XY $は一意に定まるから，$ P $における$ ω $の接線$ l $と$ Γ $の交点$ M,N $に対して，
$ AI=AM=AN $が成り立つことを示せば十分である．ここで，異なる$ 2 $点$ M,N $が少なくとも存在することに留意せよ．ただし，直線$ AB $に対して$ C $と異なる方にあるものを$ M $とする．
$ l $と$ AB,AC $の交点を$ S,T $とする．
以下を示す．
$ B,C,S,T $は共円．
$ ∠STC=∠PTE=180°-∠PIE=180°-2∠PDE=180°-2(90°-∠DEF)=2∠DEF=2(180°-(90°-∠A/2+90°-∠C/2))=2(∠A/2+∠C/2)=∠A+∠C=180°-∠B $
よって示される．
補題$ 1 $より，
$ ∠BMA=180°-∠BCA=∠MSA $であるから，
$ AM^2=AS･AB $．
また，$ ∠ASI=∠C+90°-∠C/2=90°+∠C/2=∠AIB $より，$ AI^2=AS･AB $
同様に$ AN^2=AT･AC=AI^2 $が成り立つから，
$ AM=AI=AN $となりこれより題意は示される． //
最後に
ここではAngle chaseに縋ったような解答を紹介しましたが，他にも色んなアプローチができそうですね．
以上です．
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