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初等幾何の問題の解説 2

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かえでです.
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます.

問題

三角形ABCにおいて,その内接円をω,外接円をΓ,内心をIとする.ωBC,CA,ABの交点をそれぞれD,E,Fとし,Dを通りEFに垂直な直線とωの交点をP(D)とする.
Γ上にAI=AX=AYを満たすように異なる2X,Yを取ったとき,
直線XYPωに接することを示せ.

↓解答↓








解答

直線XYは一意に定まるから,Pにおけるωの接線lΓの交点M,Nに対して,
AI=AM=ANが成り立つことを示せば十分である.ここで,異なる2M,Nが少なくとも存在することに留意せよ.ただし,直線ABに対してCと異なる方にあるものをMとする.
lAB,ACの交点をS,Tとする.
以下を示す.

B,C,S,Tは共円.

STC=PTE=180°PIE=180°2PDE=180°2(90°DEF)=2DEF=2(180°(90°A/2+90°C/2))=2(A/2+C/2)=A+C=180°B
よって示される.

補題1より,
BMA=180°BCA=MSAであるから,
AM2=ASAB
また,ASI=C+90°C/2=90°+C/2=AIBより,AI2=ASAB
同様にAN2=ATAC=AI2が成り立つから,
AM=AI=ANとなりこれより題意は示される. //

最後に

ここではAngle chaseに縋ったような解答を紹介しましたが,他にも色んなアプローチができそうですね.
以上です.

投稿日:2023113
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投稿者

ユークリッド幾何学専門

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